Gleichung 8. Grad mit einer Unbekannten

Question

Lösen Sie die Gleichung  mit Rechenweg in reellen Zahlen :

x⁸+31x⁵=32

Comments

Ginger, wenn du sinnvolle Antworten bekommen willst, musst du deine Fragen präziser stellen, also ggf. auch mit wörtlicher und vollständiger Aufgabenstellung, und auch den Stoffzusammenhang und die zur Verfügung stehenden Hilsmittel mitteilen.

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Danke für den Hinweis. Ich habe eine ganze Reihe Gleichungen zum Lösen bekommen. Mein Problem ist, dass ich nicht weiß, wie ich  anfangen soll. Wir hatten noch keine ähnliche Aufgabe bekommen, mit 8. und 5. Grad. Ich kenne Horner und die Delta Formel.

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Welchen Stoffzusammenhang soll man denn voraussetzen?

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Wir lernen gerade über Polynome

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Welche Schule? Welches Fach? Welche technischen Hilfsmittel?

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Gymnasium, 11. Klasse, Mathematik

Als technische Hilfsmittel habe ich meinen Taschenrechner, Laptop...

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 Dies ist die Ausgabe von meinem GTR:

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Am einfachsten wäre es ja es würde sich
um einen Druckfehler im Buch handeln.
Anstelle

x⁸+31x^5=32

sollte es heißen

x⁸+31x^4=32

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Schon klar, dass substitution dann hilfreich wäre. Die Welt ist aber nicht immer so einfach.

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Ja, die Rechnung ist richtig geschrieben. 

Damit verpufft die Illusion.

Answer 1

x=1 ist ja sicher eine Lösung.

Also dividieren durch (x-1) gibt 

x⁷ +x⁶ +x⁵ +x⁴ +x³ +x² + x +32 = 0 

Das hat noch genau eine reelle Lösung zwischen 

-2 und -1. Etwa  -1,75

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Ergibt die Polynomdivision nicht

x⁷+x⁶+x⁵+32x⁴+32x³+32x²+32x+32=0

? 

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https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E(8)%2B31x%5E(5)%3D32

Answer 2

Ist die Gleichung wie oben formuliert x⁸ + 31x⁵ = 32 richtig?

Eventuell war x⁸ + 31x⁴ = 32 gemeint.

Eine Nullstelle wäre bei x = 1

(x⁸ + 31x⁵ - 32) : (x - 1) = x⁷ + x⁶ + x⁵ + 32x⁴ + 32x³ + 32x² + 32x + 32

Bei der Polynomdivision kann http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/polynomdivision.htm helfen. Alternativ wendet man das Horner Schema an.

x⁷ + x⁶ + x⁵ + 32x⁴ + 32x³ + 32x² + 32x + 32 = 0

Hier gibt es noch eine Nullstelle bei etwa x = -3.149

Die anderen Lösungen wären dann alle komplex.

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Ja, die Rechnung ist richtig geschrieben. 

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Folgende Polynomgleichungen 7. Ordnung wären etwas besser zur Übung:

x⁷ - x⁶ - 11·x⁵ + 5·x⁴ + 36·x³ - 6·x² - 36·x = 0

x⁷ - 2·x⁶ - 4·x⁵ + 10·x⁴ + x³ - 12·x² + 6·x = 0