Stetige Funktion Eigenschaften beweisen oder widerlegen

Question

Sei f:R->R stetig, und A Teilmenge von R. Wie beweise oder widerlege ich die folgenden Eigenschaften?

1. Wenn A abgeschlossen ist, dann ist f(A) abgeschlossen.

2. Wenn A abgeschlossen ist, dann ist f^-1(A) abgeschlossen.

Ich stehe leider ziemlich auf dem Schlauch dabei, würde mich über Hilfe freuen :)

Answer 1

Hi,

zur a):

Betrachte mal die Funktion \(e^{-\vert x \vert }\).

b)

Diese Aussage ist wahr. Wir zeigen die äquivalente Aussage: Das Urbild einer offenen Menge einer stetigen Funktion ist offen.

Sei \(M' \subseteq \mathbb{R}\) offen und \(x \in f^{-1}(M')\) beliebig. Es gilt also \(f(x) \in M'\).

Nun ist \(M'\) offen, womit es ein \(\epsilon > 0\) gibt mit \(B_{\epsilon}(f(x)) \subseteq M'\).

Da die Funktion stetig ist, gibt es ein \(\delta > 0\) mit \(f(B_{\delta}(x)) \subseteq B_{\epsilon}(f(x)\).

So folgt: \(B_{\delta}(x) \subseteq f^{-1}(M')\)

Deine Aufgabe besteht nun darin zu zeigen, dass aus "Das Urbild einer offenen Menge einer stetigen Funktion ist offen." die Aussage "Das Urbild einer abgeschlossenen Menge einer stetigen Funktion ist abgeschlossen."

Answer 2

a) Die Aussage ist falsch.  Kannst auch einfach nur e^x auf ℝ betrachten.

ℝ ist abgeschlossen ( da ℝ \ ℝ = ∅, und die ist offen ).

Aber das Bild  ℝ⁺ ist nicht abgeschlossen, da  ℝ \   ℝ⁺ =   ℝ^≤0 nicht offen ist.