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(a) Welche Teilmengen von S3 sind bezüglich ◦ eine Gruppe?
(b) Welche Teilmengen von ℤ7 \ {0} sind bezüglich ⊙ eine Gruppe?
(c) Bestimmen Sie die Inversen für alle Elemente aus ℤ7 \ {0} bezüglich ⊙.

(d) Bestimmen Sie das inverse Element von 124 in Z1111 \ {0} bezüglich ⊙.


Kann mir jemand, bei zumindest einer Teilaufgabe weiterhelfen?

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a) https://www.mathelounge.de/57216/untergruppen-der-symmetrischen-gruppe-s3

c)  die Inversen für alle Elemente aus ℤ7 \ {0} bezüglich ⊙.

Suche also jeweils x ∈ ℤ7 \ {0}  mit 

1⊙x=1  ==>    x=1
2⊙x=1  ==>    x=4   denn  2⊙4= (2*4) mod 7 = 8 mod 7 = 1 
3⊙x=1  ==>    x=5   denn  3⊙5= (3*5) mod 7 = 15 mod 7 = 1 

etc.

b) Welche Teilmengen von ℤ7 \ {0} sind bezüglich ⊙ eine Gruppe?
Jedenfalls muss 1 drin sein (neutr. El.).

jetzt kann man ja was probieren:

wenn 2 auch drin ist, dann auch  2⊙2=4 

damit hast di ( siehe c) auch schon mal das Inverse zu 2

mit drin.   Außerdem ist die Menge  M = { 1 ; 2 ; 4 } abgeschlossen

bzgl.  ⊙; denn   4⊙4 = 16 mod 7 = 2 ist wieder in der Menge

und jede andere Multiplikation von Elementen aus M auch.

Also ist  ( M ; ⊙) eine Untergruppe von ( ℤ7 \ {0} ; ⊙ ).

Entsprechend kannst du statt mit der 2 ja mal mit der 3 beginnen.

Da muss jedenfalls das Inverse , also 5 , mit drin sein.

Und  5⊙5 = 25 mod 7 = 4  muss drin sein, damit es abgeschlossen

ist, dann aber (s.o. ) auch 2 etc., also wird es die ganze Gruppe  ( ℤ7 \ {0} ; ⊙ ).

Wenn du anfangs entsprechend die 6 ( entspricht der -1 ) hinzu nimmst, 

hast du {1;6} als mögliche Untergruppe.   Insgesamt also die Untergruppen

({1}, ⊙ )   
({1;6}, ⊙ )   
( { 1 ; 2 ; 4 } , ⊙ ) 
  ( ℤ7 \ {0} ; ⊙ ).

d) Du suchst also x und n aus ℤ mit 

124*x = 1111*n + 1 

da ggT(124,1111) = 1 ist (siehst du leicht

wegen 1111=11*101 und 124=4*31 ) 

und der Überlegung 

124*x - 1111*n  = 1 

siehst du, dass das mit dem erweiterten 

euklidischen Algorithmus geht:

https://de.wikipedia.org/wiki/Erweiterter_euklidischer_Algorithmus#Funktionsweise_am_Beispiel

Ich komme da auf 124*224-25*1111=1

also ist 224 das gesuchte Inverse.

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