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Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass für all n∈ℕ≥1 gilt:

\(\sum\limits_{i=1}^{n} i*2^i\) = (n-1)·2n+1+2        [Editiert: i·2i  statt i·2i , Wolfgang]


IA: n=1

\(\sum\limits_{i=1}^{n} i*2^i\)  = (1-1)21+1+2 =2

IV

\(\sum\limits_{i=1}^{n} i*2^i\)  = (n-1)2n+1+2

IS: n->n+1

 \(\sum\limits_{i=1}^{n+1} i*2^i\)   

laut IV

= (n-1)2n+1+2+(n+1*2n+1)

= n2n+1-2n+1+2+(n+1)2n+1

= nn+1+2+n2n+1+2n+1

= 3nn+1+2n+1+2

= 5nn+1+2


wie gehts nun weiter?

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Beste Antwort

= n2^{n+1}-2^{n+1}+2+(n+1)2^{n+1}

= n2^{n+1}-2^{n+1}+2+n2^{n+1} +2^{n+1}

= n2^{n+1}+2+n2^{n+1} 

= 2*n2^{n+1}+2

=n2^{n+2}+2

und das ist das, was die rechte Seite der IV

für n+1 statt n auch sagt.

Also fertig!

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\(\sum\limits_{i=1}^{n} i*2i\)  =  (n-1)·2n+1+ 2       für alle  n∈ℕ≥1

ergibt für n = 3         28 = 34   , ist also falsch.

Nachtrag:

Habe bei Durchsicht deiner Rechnung gesehen, dass es wohl  \(\sum\limits_{i=1}^{n} i*2^i\) heißen soll.

Halte dich also an Mathef.

Gruß Wolfgang 

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