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Aus vier vorgegebenen stäben gleicher Länge(a=12cm) soll eine gerade pyramide mit quadratischer grundfläche gebildet werden, die möglichst großes volumen hat ... ? :)
danke :)
Avatar von
Was sollst du denn berechnen?

Und wie sollen die Stäbe angeordnet werden? Bilden die Stäbe die Kanten, die zur Spitze hin verlaufen?
Ich muss ein möglichst großes Volumen haben .

die Aufgabe wird nicht näher beschrieben ...
Da muss doch aber stehen, was du berechnen sollst. Vielleicht die Länge der Grundfläche?
Ne steht leider nichts zu ... Aber ich vermute auch das die Stäbe die Kanten die zur Spitze verlaufen beschreiben soll ...

2 Antworten

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Hi,

das Volumen ist abhängig von Seite und Höhe.

Hauptbedingung: \(V=\frac13a^2\cdot h\)

Nebenbedingung: \(h^2 = 12^2-(a\cdot\frac{\sqrt2}{2})^2 -> h^2 = 144-\frac{a^2}{2}\)

h einsetzen in die Hauptbedingung:

$$V = \frac13(288-2h^2)h = 96h-\frac23h^3$$

$$V' = 96-2h^2 = 0$$

$$h_1 = -4\sqrt3 \ \text{und}\ h_2=4\sqrt3$$

Damit ist die gesuchte Höhe \(h = 4\sqrt3\ \text{cm}\) mit dem maximalen Volumen von \(V = 443,41\ \text{cm}^3\).

Grüße
Avatar von 140 k 🚀
Aber die 12 cm Länge der Stäbe kommt in den Rechnungen nicht vor ....!?

Oh sry, die vier Stangen hatten mich so vereinnahmt, dass ich das gesamte mit 4 gerechnet hatte^^.

Ich ändere es mal.

@Unknown: Kann es sein, dass du mit einer Stablänge von 4 cm gerechnet hast?
Es sollte nun passen ;).
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Wenn a die Länge der Grundfläche ist, ist \(\frac{\sqrt{2}}{2}a\) die halbe Diagonale.

Laut Satz des Pythagoras ist dann: \(12^2=h^2+\left(\frac{\sqrt{2}}{2}a\right)^2\)   (Nebenbedingung)

Die Hauptbedingung ist: \(V=\frac{1}{3}a^2h\)

Die Nebenbedingung nach a umstellen: \(144=h^2+\frac{a^2}{2}\Rightarrow a=\sqrt{288-2h^2}\)

In die Hauptbedingung einsetzen: \(V(h)=\frac{1}{3}(288-2h^2)h=-\frac{2}{3}h^3+96h\)

\(V'(h)=-2h^2+96=0 Rightarrow 2h^2=96 \Rightarrow h^2=48 \Rightarrow h=\pm 4\sqrt{3}\) (jedoch ist nur die positive Lösung sinnnvoll.)

Einsetzen in zweite Ableitung \(V''(h)=-4h, v''(4\sqrt{3})=-16\sqrt{3}<0 \), also Maximum.

Das maximale Volumen ist dann \(V(4\sqrt{3})=-\frac{2}{3}\left(4\sqrt{3}\right)^3+96\cdot 4\sqrt{3}=886,81 cm^3\)

Die Kantenlänge der Grundfläche ist \(a=\sqrt{288-2\left(4\sqrt{3}\right)^2}=8\sqrt{3}=13,86 cm.\)
Avatar von
Warum hast Du 886,81?

Prinzipiell haben wir den gleichen Rechenweg, ich habe aber genau die Hälfte von Dir? ;)
Stimmt, da hab ich dann wohl auch einen Fehler gemacht beim Eintippen in den Taschenrechner.

Jedenfalls ist 443,41 cm^3 richtig.

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