+1 Punkt
114 Aufrufe

Rechentrick: Schreiben Sie eine fünfstellige Zahl auf, bei der nicht alle Ziffern gleich sind. Bilden Sie aus den genau gleichen Ziffern eine zweite Zahl. Dividieren Sie die Differenz der beiden Zahlen durch 9. Sie werden feststellen, dass die Division ohne Rest ausgeht. Begründen Sie, weshalb die Differenz der beiden Zahlen immer ein Vielfaches von 9 ist. 

Wir müssen diese Aufgabe unseren Mitschülern vorstellen. Jedoch sind wir auf keine Lösung gekommen.

Gefragt von

Vom Duplikat:

Titel: "Rechentrick", wir brauchen einen Lösungsweg

Stichworte: textaufgabe,trick

Rechentrick: Schreiben Sie eine fünfstellige Zahl auf, bei der nicht alle Ziffern gleich sind. Bilden Sie aus den genau gleichen Ziffern eine zweite Zahl. Dividieren Sie die Differenz der beiden Zahlen durch 9. Sie werden feststellen, dass die Division ohne Rest ausgeht. Begründen Sie, weshalb die Differenz der beiden Zahlen immer ein Vielfaches von 9 ist. 

Wir müssen diese Aufgabe unseren Mitschülern vorstellen. Jedoch sind wir auf keine Lösung gekommen.

In der Frage  heißt es: "Bilden Sie aus den genau gleichen Ziffern eine zweite Zahl." Wie ist das gemeint? Ist das wörtlich abgeschrieben?

54321 - 12345 = ... (ist durch 9 teilbar)

Sowas ist gemeint. Der Sachverhalt scheint wirklich zu stimmen.

3 Antworten

0 Daumen

Hallo Tanja,

eine fünfstellige Zahl kann man sich so vorstellen:

10.000a + 1.000b + 100c + 10d + e

Sei die zweite Zahl

10.000c + 1.000e + 100a + 10b + d

Wenn du dann die Differenz bildest, erhältst du

10.000 a - 100 a = 9 900 a

1.000 b - 10b = 990b

100c - 10.000c = -9.900c

10d - d = 9

e - 1000e = -999e

Egal, welche Zahlen man wählt, das 10000-/1000/100...-fache einer Zahl minus dem 10000-/1000-... fachen der Zahl, ergibt immer eine durch neun teilbare Zahl.

Das ist jetzt keine formal-korrekte Antwort, sondern nur als Ansatzpunkt gedacht.

Gruß, Silvia

Beantwortet von 3,7 k
0 Daumen

  Ganz einfach;  wieder mal ein typischer Fall für mich.  Was ich nie müde werde zu predigen. Sämtliche Quersummen finktionieren auch modulo.

   " Eine Zahl n ist teilbar durch 9 genau dann, wenn ihre Quersumme q ( n ) teilbar ist durch 9. "


    Nein.



                n  mod  9  =  q  (  n  )  mod  9          (  1  )


   wie du siehst, spielt es auch nicht die geringste Rolle, ob zwei Ziffern  der Ausgangszahl n überein stimmen oder nicht.  Wenn du die Ziffern vertauschst, ändert sich ja die Quersumme nicht. Nennen wir die aus der Permutation hervor gegangene Zahl m


            q  (  m  )  =  q  (  n  )  ===>  m  mod  9  =  n  mod  9        (  2a  )

    m  mod  9  =  n  mod  9  ===>  (  m  -  n  )  mod  9  =  0     (  2b  )    wzbw       

Beantwortet von 5,5 k

  Eben seh ich's .    Die Beschränkung auf fünf Stellen ist natürlich auch nur Zunnober.  Wenn du deine Forderung aufrecht hältst, dass keine Ziffer doppelt belegt werden darf, dann zeig ich dir jetzt, was so eine Zahl mod 9 ergibt;


      1 234 567 890


    " Eine Milliarde 234 Millionen 567 Tausend 890 "   Zu Mindest im Prinzip; denn wir sagten ja, auf die Reihenfolge kommt es uns nicht an. Für praktische Rechnungen viel besser geeignet ist übrigens die Q2 , die ===> Quersumme 2. Ordnung.   Wenn du dir in Wiki z.B. den Artikel über die Neuner-bzw. Elferprobe durchliest, wirst du fest stellen, dass vor mir noch niemand dieses Wissen aktiviert hat, dass ALLE Quersumenproben, auch die Q2 , modulo funktionieren. Nicht dass dieses in der Fachwelt unbekannt wäre; ich habe esquasi heuristisch nachentdeckt.  teilen wir also Zweiergruppen ab:


     12 |  34  | 56  |  78  |  90


       Schreiben wir die Gruppen senkrecht untereinander


      12  =  (  +  3  )  mod  9          (  2.1a  )

      34  =  (  -  2  )  mod  9           (  2.1b  )

      56  =  (  +  2  )  mod  9          (  2.1c  )

      78  =  (  -  3  )  mod  9           (  2.1d  )

      90  =  0            mod  9           (  2.1e  )


    ( 2.1b ) hebt sich weg gegen ( 2.1c ) so wie ( 2.1d ) gegen ( 2.1a )  , so dass sich am Ende eine durch 9 teilbare Zahl ergibt.

   Gegenüber der landläufigen Q1 bietet die Q2 den entscheidenden Vorteil der Bündelung;   von jeder zweistelligen Zahl vermagst du ihren Rest mod 9 im Kopf anzugeben.  Wie du siehst, arbeite ich mit dem zusätzlichen Trick, dass ich mod 9 nur Reste zulasse


       |Z  /  9  |Z  =  {  0  ;  +/-  (  1  ,  2  ,  ... ,  5  )  }           (  2.2  )


     Meine Politik setzt ganz entscheidend darauf, dass sich alle Reste zu Null weg interferieren.

   Du magst jetzt getrost her gehen und eine Zahl mit 4 711 Stellen betrachten;  zwangsläufig hast du dann  Ziffern, die wiederholt auftreten.  Es gibt auch statistische Untersuchungen über die Häufigkeit einer mehrfachen Belegung.

   Ich meine nur; dein Teorem gilt selbstverständlich auch noch für Zahlen mit 4 711 Stellen ...

0 Daumen

Ich würde das Lemma Silvia etwas ausarbeiten, eventuell mit CAS

GeoGebra Classic 5 (1)_2018-03-12_16-28-01.jpg

und dann

\( 10^{n + x} \cdot 10^{x} = 10^{x}\cdot \left(10^{n} - 1\right)\)

\(\left(10^{n} - 1\right) mod \ 9 = 0 \ \)

in GeoGebra CAS: Mod((10^n-1 ),9)

Beantwortet von 3,4 k

  Damals in der Altsteinzeit funktionierte das Modulo Rechnen auch so.

   Das waren noch Zeiten, als ich im Auftrag von Fred Feuerstein  die Logaritmen in die Stelen gravierte  - sog. Logaritmensäulen. Das babylonische Wachs-Logaritmentäfelchen war noch nicht erfunden ...

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Ähnliche Fragen

0 Daumen
1 Antwort
+1 Punkt
1 Antwort
0 Daumen
1 Antwort

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage sofort und kostenfrei

x
Made by a lovely community
...