Du kannst das sowohl in Polarkoordinaten als auch in kartesischen Koordinaten rechnen.
D.h. z= a + ib oder z = r * ei phi einsetzen und dann rechnen.
Polarkoordinaten:
z = r * ei (phi + 2kπ)
z2 = r2 * e i (2phi + 4kπ)
zquer = r * e i ( -phi + 2kπ)
Vergleichen:
r2 = r ==> r = 1 oder 0 .
Für r=0 gilt z = 0. Erste Lösung!
Für r ≠ 0, d.h. r=1 zusätzlich
2phi + 4kπ = - phi + 2kπ
3 phi = - 2kπ
phi = -2kπ / 3 ,
k einsetzen.
k = 0, phi_1 = 0 , zweite Lösung z = 1
k= 1, phi_2 = - 120°, dritte Lösung z = e-2πi/3
k = -1, phi_3 = 120° , vierte Lösung z = e2πi / 3
Weitere Lösungen fallen mit den bereits angegebenen Lösungen zusammen.
Kontrolle:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=conjugate(z)+%3D+z%5E2