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analysis b norm.PNG

Ich weiß nicht wie ich die Aufgabe Lösen soll, da wir so etwas bisher noch nicht gemacht haben.

Über eine Antwort würde ich mich freuen.

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Sollen wir auf Definitheit, Homogenität und Δ-Umgebung testen oder muss man was anderes machen?

Ja, das ist zu tun.

Lässt sich das max{|x1|, . . . , |xn|} in eine Summenform bringen wie etwa

||x|| =          p√∑nk |x|p   

?

                        

Naja, hier wäre p Formal gesehen = unendlich, man müsste das also im Grenzwert p---> ∞ betrachten. Siehe z.B

https://de.wikipedia.org/wiki/P-Norm#Maximumsnorm

Das ist hier aber gar nicht notwendig, du sollst die gegebene Form mit dem Maximum nehmen und die 3 Eigenschaften überprüfen. Das läuft im Grunde genommen auf die Rechenregeln für das Maximum einer Menge hinaus.

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Zeigen Sie, dass ||.||_unendlich: Rn -> R definiert durch
||(x1, x2, …)||_unendlich = max{|x1|, |x2|, …}
eine Norm definiert.

Wikipedia Norm:  Definitheit, Homogenität, Dreiecksungleichung.

Definitheit:  ||x||_unendlich = 0 => max{|x1|, |x2|, …} = 0 => x = 0
Homogenität:  ||ax||_unendlich = max{|ax1|, |ax2|, …} = |a| max{|x1|, |x2|, …} = |a| * ||x||_unendlich
Dreiecksungleichung:  ||x+y||_unendlich = max{|x1+y1|, |x2+y2|, …} <= max{|x1|, |x2|, …} + max{|y1|, |y2|, …} = ||x||_unendlich + ||y||_unendlich

Während die ersten beiden Punkte leicht einzusehen sind, müsste wohl der dritte Punkt noch bewiesen werden.

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