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Ich habe etwas Probleme mit der Fragestellung, sind U1 und U2 als Teilmengen nicht per Definition Unterräume von R3? Oder muss ich noch den Nullvektor überprüfen? Das Unterraumkriterium brauche ich hier nicht zu prüfen , oder?


Danke für ausführlichere Denkanstöße!

von

EDIT: Wo ist der Fragetext, der gemäss Schreibregeln abgetippt werden sollte?

3 Antworten

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Ich habe etwas Probleme mit der Fragestellung, sind U1 und U2 als Teilmengen nicht per Definition Unterräume von R3?

Nein.

Oder muss ich noch den Nullvektor überprüfen?

Nein.

Das Unterraumkriterium brauche ich hier nicht zu prüfen, oder?

Doch, denn darum geht es in Teilaufgabe 1.

von 22 k
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sind U1 und U2 als Teilmengen nicht per Definition Unterräume von R3?

Nicht im allgemeinen, nimm z.B

U={(a,a^2 ,0)|a∈|R}

Das Unterraumkriterium brauche ich hier nicht zu prüfen , oder?

Doch, genau das sollst du machen ;)

Genau genommen sind es 3 Kriterien.

von 37 k
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  Zu 1;  ein Veektorraum ist, wenn es  das Bild von  |R  ³  unter einer Matrix ist.  Im Falle von U1 ist es die Matrix


                    2        0         0

     A1  :=     1        0          0           (  1  )

                    0        1          0


      Man sieht auch sofort:  Rang  (  A1  )  =  2  (  Spalte 3 verschwindet iNdentisch.  )  Offenbar stellen die beiden ersten Spalten die Basisvektoren von U1 dar:


      B1;1  =  (  2  |  1  |  0  )  ;  B1;2  =  (  0  |  0  |  1  )    (  2a  )


      und entsprechend für U2


     B2;1  =  (  1  |  1  |  0  )  ;  B2;2  =  B1;2       (  2b  )


    Zu  2)  ;  da gibt es von Vorn herein zwei Möglichkeiten. Ein Vektor, der so wohl in U1 als auch in U2 liegt, ist von der Form


     v1  =  (  2  a  |  a  |  b  )  =  v2  =  (  a  |  a  |  b  )      (  3a  )


        Koeffizientenvergleich x-Komponernte


         2  a  =  a   ===>  a  =  0     (  3b  )


       v  =  (  0  |  0  |  b  )        (  3c  )


    Die alternative Möglichkeit; du bildest die Schnittmenge aus den beiden Basen B1 und B2 in   (  2ab  )  ; und dann überlebt allein der Vektor B1;2 in Übereinstimmung mit ( 3c )

   Bei Frage 3) darfst du dich nicht ins Horn des Boxers jagen lassen.  Doch das weiß ich genau; der Boxer hat ein Horn. In einem Philophiebuch   fand ich nämlich mal die Definition des  "  Höv  "   Der  Höv , von  "  (Hö)rner (v)erloren  "  , sei der Mann, der seine Hörner verloren hat.

   Wär doch schön, gäbe es einen Höv. Da  hätte der Mann, dem frau Hörner aufsetzt, wenigstens die Chance, sie wieder zu verlieren ...

   Also;  U1  +  U2  ist der (Unter)raum, der von der Vereinigung der beiden Basen  B1 und B2 aufgespannt wird in ( 2ab )  ( Warum? )


    B  (  U1  +  U2  )  =  {  B1_1  ;  B2_1  ;  B2_2  }     (  4a  )


     Und da drängt sich der Verdacht auf, da es drei Vektoren sind,  dass   bereits


         U1  +  U2  =  |R  ³       (  4b  )


    Das ist es, was ich mit dem Bockshorn   meintete.  Bilden wir Linearkombinationen


                2  x  +  y      =  c1           (  5a  )

                    x  +  y      =  c2           (  5b  )

                                z  =  c3           (  5c  )


         (  5a-c  )  bilden ein linear unabhängiges  LGS  ; jeder Vektor ( c1 | c2 | c3 )  €  |R  ³  lässt sich  (  eindeutig  )  mittels der Basisvektoren   (  4a  )  darstellen.

   Damit habe ich deine Fragen so weit beantwortet;    mein Sinnen und Trachten geht jedoch danach, etwas mehr geometrische Anschaulichkeit in die Sache zu bringen.   Anschaulich ist ein 2 D Unterraum des |R  ³  doch weiter nichts als eine Ebene.  Und die beiden Basisvektoren ( 2a ) beschreiben die Parameterform  (  PF  )  der Ebene U1


        u  :=  (  2  |  1  |  0  )  ;  v  :=  (  0  |  0  |  1  )     (  6a  )

   U1  (  r  ;  s  )  :=  r  u  +  s  v  =:  P  €  U1  ;  r  ,  s  €  R    (  6b  )


       Dabei möge  P ein unbestimmter Punkt der Ebene U1 sein.


     P  =  (  x  |  y  |  z  )        (  6c  )


    Was wir suchen,  ist die Koordinatenform  (  KF  )


    E  =  E  (  x  ;  y  ;  z  )  =  0      (  7  )


    Jetzt mache ich ein kleines Vexierspiel mit den Begriffen UnBESTIMMTE  und Unbekannte. Nein sage ich; P wird mit einer Reißzwecke fest gepinnt oder mit Uhu angeklebt. Wir wollen es als fest gegeben betrachten; dann aller Dings wird ( 6b )  zu einem  LGS  zur Bestimmung der beiden Unbekannten r und s .    Und zwar ist seine Koeffizientenmatrix   ( KM  )  vom Format  2  X  3  und hat ( offensichtlich )  Rang 2 .

   Dann ist aber die ===> Erweiterte  KM von ( 6b )  QUADRATISCH  vom format  3  X  3  und eben Falls  Rang 2 ; ihre  DETERMINANTE VERSCHWINDET .

   Warum Rang 2 ?  Gemäß einem Lehrsatz der  AGULA    besitzt ( 6b ) eine Lösung in r und s  genau dann, wenn sich der Vektor der rechten Seite schreiben lässt als Linearkombination der Basisvektoren, wenn also die KM und ihre  Erweiterung den selben Rang habenn:


    det  (  u  |  v  |  P  )  =  0     (  8  )


   Was selbst die meisten Studenten nicht wissen:   Anschaulich bedeutet   die Determinante ein  Spatvolumen ===>  Spatprodukt .

   Kleiner IQ-Test gefällig?

    Quadrat verhält sich zu Rechteck wie Würfel zu? Zu Quader.

   Rechteck verhält sich zu Parallelogramm wie Quader zu? Zu Spat.

   Und in  (  8  ) sind die drei Vektoren P , u und v komplanar; ihr Volumen verschwindet.

  Mein Musiklehrer Pauli, dem ich immer auf der Blockflöte vorexerzieren musste und der uns die Lebensdaten von Haydn, Händel und Bach abhörte - einzig diese drei Herren seien wichtig -  war sehr Teorie lastig.  Und wenn er mit seinen Teoriereferaten geendet hatte, verfiel er in die Geflügelworte

   " So. Das war die Teorie; und jetzt folgt die Praxis. Ihr solltet Latein lernen; selbst mein Hund hört auf lateinische Kommandos ... "

   In diesem Sinne; setzen wir ( 6a;c ) ein in Determinante ( 8 )




                    |          2          0          x      |

  det  =         |         1          0           y       |   =  0         (  9a  )

                    |         0          1          z        |


     Hier bietet sich   wirklich Entwickeln an nach Spalte 2 .



      det  =  U1  =   -     |   2     x    |

                                   |   1     y    |     =  2  y  -  x  =  0     (  9b  )



     Hier kann das sein? In der Darstellung von U1 kommt  z gar nicht vor; und trotzdem vefläuft ja Basisvektor  v bzw. B1;2 in z_richtung.

    Alles im grünen Bereich; die Ebene U1 verläuft vertikal;  die z-achse verläuft  ganz innerhalb U1 . Und für U2 entsprechend


    U2  =  y  -  x  =  0     (  9c  )


     Was ist jetzt dieser Schnittraum U1 geschnitten  U2?  Wenn ich zwei Ebenen schneide


       E1  (  x  ;  y  ;  z  )  =  0          (  10a  )

      E2  (  x  ;  y  ;  z  )  =  0           (  10b  )


      Allgemein gilt


    Rang  (  LGS  )  +  dim  Kern  (  LGS  )  =  n      (  10c  )


    Der Rang ist 2  (  zwei Gleichungen )  und n die Anzahl Unbekannte.  D.h. der Kern wird ein eindimensionaler Strahl, die ===>  Knotenlinie der Ebene.

     (  max Zeichen )

von 5,5 k

  Der Rang ist 2  (  zwei Gleichungen )  und n =  3  die Anzahl Unbekannte.  D.h. der Kern wird ein eindimensionaler Strahl, die ===>  Knotenlinie der  beiden  Ebenen.

      Scheinbar sind ( 1.9bc ) linear unabhängig; und es ergibt sich x = y = 0 . Doch die dritte Unbekannte  z  versteckt sich hinter  Koeffizient  Null;  effektiv hsaben wir die Aussage  "  z  beliebig  "  Die z-Achse ist gleichzeitig Richtungsvektor der Knotenlinie; und das ist die anschauliche Bedeutung des Schnittraums in   (  1.3c  )  Effektiv sind U1 und U2 nur zwei vertikale  Ebenen,       die in  jeweils verschiedenem Winkel um die z_Achse gedreht sind.

   Letzter Punkt; und dass die  Summe von zwei Ebenen wieder den ganzen Raum ergeben muss,   ist  anschaulich klar.

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