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Leute!

Ich brauche hilfe mit der folgenen Aufgabe:


Sei A ∈ K(a,a) invertierbar und λ Eigenwert von A. Sei u ∈ Ka ein zugehoriger Eigenvektor.

Man zeige, dass 1/λ Eigenwert von A-1 ist und dass u ∈ E(A-1, 1/λ) ist.


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Beste Antwort

Sei \(A\in K^{(a, a)}\) invertierbar und \(\lambda\) ein Eigenwert von \(A\).

Dann gibt es mindestens einen Eigenvektor \(u\in K^a\) (wobei \(u\) nach Definition von Eigenwerten und Eigenvektoren nicht der Nullvektor ist), so dass dann also \(A u = \lambda u\) ist.

Idee: Multipliziere bei der Gleichung \(A u = \lambda u\) von links mit \(A^{-1}\).

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Dann erhält man \(A^{-1} A u = A^{-1}\lambda u\), also \(u = \lambda A^{-1} u\).

Idee: Multipliziere bei der Gleichung \(u = \lambda \cdot A^{-1} u\) mit \(\frac{1}{\lambda}\).

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Man erhält \(\frac{1}{\lambda}u = A^{-1} u \) und damit \(A^{-1}u = \frac{1}{\lambda}u\). Damit ist dann \(\frac{1}{\lambda}\) ein Eigenwert von \(A^{-1}\) und \(u\) ein zugehöriger Eigenvektor, so dass dann auch \(u\in\text{E}(A^{-1}, \frac{1}{\lambda})\) ist.

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Schau mal, ob du die Antwort hier nutzen / umschreiben kannst auf deine Aufgabe.

https://www.mathelounge.de/419085/ist-ein-eigenwert-von-a-so-ist-2-ein-eigenwert-von-a-2-beweis

A^{-1} * A = E       . Eigenwert der Einheitsmatrix ist nur k= 1

A^{-1} ( A (v)) = 1* v       , Sei k Eigenwert von A mit Eigenvektor v. 

...

von 162 k 🚀

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