(a)
Hier muss man einfach nur die Gruppenaxiome nachrechnen.
Assoziativität:
Für g1,g2,g3∈G und h1,h2,h3∈H ist ((g1,h1)∙(g2,h2))∙(g3,h3)=(g1∗g2,h1⋄h2)∙(g3,h3)=((g1∗g2)∗g3,(h1⋄h2)⋄h3)=(g1∗(g2∗g3),h1⋄(h2⋄h3))=(g1,h1)∙(g2∗g3,h2⋄h3)=(g1,h1)∙((g2,h2)∙(g3,h3)).
Neutrales Element:
Mit den neutralen Elementen eG∈G und eH∈H erhält man (eG,eH)∙(g,h)=(eG∗g,eH⋄h)=(g,h) und (g,h)∙(eG,eH)=(g∗eG∗g,h⋄eH)=(g,h) für alle g∈G und alle h∈H. Damit ist (eG,eH) neutrales Element bzgl. ∙.
Inverse Elemente:
Seien g∈G und h∈H beliebig. Dann gibt es entsprechende Inverse Elemente g−1∈G und h−1∈H und es ist (g,h)∙(g−1,h−1)=(g∗g−1,h⋄h−1)=(eG,eH) und (g−1,h−1)∙(g,h)=(g−1∗g,h−1⋄h)=(eG,eH). Damit ist dann (g−1,h−1)∈G×H das inverse Element zu (g,h)∈G×H.
(b)
Man findet den Erzeuger ([1]3,[1]4)∈Z3×Z4.
0⋅([1]3,[1]4)=([0]3,[0]4)
1⋅([1]3,[1]4)=([1]3,[1]4)
2⋅([1]3,[1]4)=([2]3,[2]4)
3⋅([1]3,[1]4)=([3]3,[3]4)=([0]3,[3]4)
4⋅([1]3,[1]4)=([4]3,[4]4)=([1]3,[0]4)
5⋅([1]3,[1]4)=([5]3,[5]4)=([2]3,[1]4)
6⋅([1]3,[1]4)=([6]3,[6]4)=([0]3,[2]4)
7⋅([1]3,[1]4)=([7]3,[7]4)=([1]3,[3]4)
8⋅([1]3,[1]4)=([8]3,[8]4)=([2]3,[0]4)
9⋅([1]3,[1]4)=([9]3,[9]4)=([0]3,[1]4)
10⋅([1]3,[1]4)=([10]3,[10]4)=([1]3,[2]4)
11⋅([1]3,[1]4)=([11]3,[11]4)=([2]3,[3]4)
Wegen Z3×Z4=⟨([1]3,[1]4)⟩ ist Z3×Z4 zyklisch.
(c)
Die Mächtigkeit der Menge Z4×Z6 ist ∣Z4×Z6∣=∣Z4∣×∣Z6∣=4⋅6=24.
Wenn die Gruppe Z4×Z6 zyklisch wäre, müsste es ein Element der Ordnung 24 geben. Jedoch ist 12⋅([a]4,[b]6)=([12a]4,[12b]6)=([0]4,[0]6) für alle ([a]4,[b]6)∈Z4×Z6, so dass jedes Element in Z4×Z6 höchstens Ordnung 12 hat.
Demnach ist die Gruppe Z4×Z6 nicht zyklisch.