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Seien (G, ∗) und (H, ⋄) Gruppen. Wir definieren auf der Menge G× H eine Verknüpfung • durch
(g1, h1) • (g2, h2) = (g1 ∗ g2, h1 ⋄ h2).

(a) Zeigen Sie, dass (G × H, •) eine Gruppe ist.
(b) Zeigen Sie, dass die Gruppe Z3 × Z4 zyklisch ist.
(c) Zeigen Sie, dass die Gruppe Z4 × Z6 nicht zyklisch ist.

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(a)

Hier muss man einfach nur die Gruppenaxiome nachrechnen.

Assoziativität:

Für g1,g2,g3Gg_1, g_2, g_3\in G und h1,h2,h3Hh_1, h_2, h_3\in H ist ((g1,h1)(g2,h2))(g3,h3)=(g1g2,h1h2)(g3,h3)=((g1g2)g3,(h1h2)h3)=(g1(g2g3),h1(h2h3))=(g1,h1)(g2g3,h2h3)=(g1,h1)((g2,h2)(g3,h3)). \left((g_1, h_1)\bullet(g_2, h_2)\right)\bullet(g_3, h_3) = (g_1 * g_2, h_1 \diamond h_2)\bullet(g_3, h_3) = (\left(g_1 * g_2\right) * g_3, \left(h_1 \diamond h_2\right)\diamond h_3) = (g_1 * \left(g_2 * g_3\right), h_1 \diamond \left(h_2\diamond h_3\right))= (g_1, h_1)\bullet(g_2 * g_3, h_2\diamond h_3) = (g_1, h_1)\bullet\left((g_2, h_2)\bullet(g_3, h_3)\right)\text{.}

Neutrales Element:

Mit den neutralen Elementen eGGe_G\in G und eHHe_H \in H erhält man (eG,eH)(g,h)=(eGg,eHh)=(g,h)(e_G, e_H)\bullet(g, h) = (e_G * g, e_H\diamond h) = (g, h) und (g,h)(eG,eH)=(geGg,heH)=(g,h)(g, h) \bullet (e_G, e_H) = (g * e_G * g, h\diamond e_H) = (g, h) für alle gGg\in G und alle hHh\in H. Damit ist (eG,eH)(e_G, e_H) neutrales Element bzgl. \bullet.

Inverse Elemente:

Seien gGg\in G und hHh\in H beliebig. Dann gibt es entsprechende Inverse Elemente g1Gg^{-1}\in G und h1Hh^{-1}\in H und es ist (g,h)(g1,h1)=(gg1,hh1)=(eG,eH)(g, h)\bullet(g^{-1}, h^{-1}) = (g * g^{-1}, h \diamond h^{-1}) = (e_G, e_H) und (g1,h1)(g,h)=(g1g,h1h)=(eG,eH).(g^{-1}, h^{-1})\bullet(g, h) = (g^{-1} * g, h^{-1} \diamond h) = (e_G, e_H)\text{.} Damit ist dann (g1,h1)G×H(g^{-1}, h^{-1})\in G\times H das inverse Element zu (g,h)G×H(g, h)\in G\times H.

(b)

Man findet den Erzeuger ([1]3,[1]4)Z3×Z4([1]_3, [1]_4)\in\mathbb{Z}_3\times\mathbb{Z}_4.

0([1]3,[1]4)=([0]3,[0]4)0\cdot ([1]_{3}, [1]_{4}) = ([0]_3, [0]_4)

1([1]3,[1]4)=([1]3,[1]4)1\cdot ([1]_{3}, [1]_{4}) = ([1]_3, [1]_4)

2([1]3,[1]4)=([2]3,[2]4)2\cdot ([1]_{3}, [1]_{4}) = ([2]_3, [2]_4)

3([1]3,[1]4)=([3]3,[3]4)=([0]3,[3]4)3\cdot ([1]_{3}, [1]_{4}) = ([3]_3, [3]_4)=([0]_3, [3]_4)

4([1]3,[1]4)=([4]3,[4]4)=([1]3,[0]4)4\cdot ([1]_{3}, [1]_{4}) = ([4]_3, [4]_4)=([1]_3, [0]_4)

5([1]3,[1]4)=([5]3,[5]4)=([2]3,[1]4)5\cdot ([1]_{3}, [1]_{4}) = ([5]_3, [5]_4)=([2]_3, [1]_4)

6([1]3,[1]4)=([6]3,[6]4)=([0]3,[2]4)6\cdot ([1]_{3}, [1]_{4}) = ([6]_3, [6]_4)=([0]_3, [2]_4)

7([1]3,[1]4)=([7]3,[7]4)=([1]3,[3]4)7\cdot ([1]_{3}, [1]_{4}) = ([7]_3, [7]_4)=([1]_3, [3]_4)

8([1]3,[1]4)=([8]3,[8]4)=([2]3,[0]4)8\cdot ([1]_{3}, [1]_{4}) = ([8]_3, [8]_4)=([2]_3, [0]_4)

9([1]3,[1]4)=([9]3,[9]4)=([0]3,[1]4)9\cdot ([1]_{3}, [1]_{4}) = ([9]_3, [9]_4)=([0]_3, [1]_4)

10([1]3,[1]4)=([10]3,[10]4)=([1]3,[2]4)10\cdot ([1]_{3}, [1]_{4}) = ([10]_3, [10]_4)=([1]_3, [2]_4)

11([1]3,[1]4)=([11]3,[11]4)=([2]3,[3]4)11\cdot ([1]_{3}, [1]_{4}) = ([11]_3, [11]_4)=([2]_3, [3]_4)

Wegen Z3×Z4=([1]3,[1]4)\mathbb{Z}_3\times\mathbb{Z}_4=\langle([1]_{3}, [1]_{4})\rangle ist Z3×Z4\mathbb{Z}_3\times\mathbb{Z}_4 zyklisch.

(c)

Die Mächtigkeit der Menge Z4×Z6\mathbb{Z}_4\times\mathbb{Z}_6 ist Z4×Z6=Z4×Z6=46=24.\lvert\mathbb{Z}_4\times\mathbb{Z}_6\rvert=\lvert\mathbb{Z}_4\rvert\times\lvert\mathbb{Z}_6\rvert = 4 \cdot 6 = 24\text{.}

Wenn die Gruppe Z4×Z6\mathbb{Z}_4\times\mathbb{Z}_6 zyklisch wäre, müsste es ein Element der Ordnung 24 geben. Jedoch ist 12([a]4,[b]6)=([12a]4,[12b]6)=([0]4,[0]6)12\cdot([a]_{4}, [b]_6) = ([12a]_{4}, [12b]_6) = ([0]_{4}, [0]_6) für alle ([a]4,[b]6)Z4×Z6([a]_{4}, [b]_{6})\in\mathbb{Z}_4\times\mathbb{Z}_6, so dass jedes Element in Z4×Z6\mathbb{Z}_4\times\mathbb{Z}_6 höchstens Ordnung 12 hat.

Demnach ist die Gruppe Z4×Z6\mathbb{Z}_4\times\mathbb{Z}_6 nicht zyklisch.

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