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(* bedeutet Verknüpfung)

Sei f: G->K ein Homomorphismus der Abelschen Gruppen (G, *G) und (K,*K). Zeige:

a) Für die Neutralelemenete eG∈G und eK∈K gilt f(eG )=eK

b) Ist x' das Inverse von x∈G, so ist f(x') das Inverse von f(x)


Wie muss ich die Aufgabe lösen?

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a)

\[\begin{align*}f(e_G) &= f(e_G)\mathbin{*_K}e_K = f(e_G) \mathbin{*_K} \left(f(e_G) \mathbin{*_K} \left(f(e_G)\right)^{-1}\right) \\ & = \left(f(e_G)\mathbin{*_K} f(e_G)\right)\mathbin{*_K}\left(f(e_G)\right)^{-1} = f(e_G\mathbin{*_G} e_G)\mathbin{*_K}\left(f(e_G)\right)^{-1} \\ & =f(e_G)\mathbin{*_K}\left(f(e_G)\right)^{-1}=e_K\end{align*}\]

Bzw. kann man das eventuell einfacher sehen, wenn man \[f(e_G)=f(e_G\mathbin{*_G}e_G)=f(e_G)\mathbin{*_K}f(e_G)\] rechnet und dann mit dem Inversen \((f(e_G))^{-1}\) von \(f(e_G)\in K\) verknüpft.

b)

Sei \(x'\) das Inverse von \(x\in G\). Dann ist \[f(x)\mathbin{*_K} f(x') = f(x\mathbin{*_G}x')=f(e_G)=e_K\] bzw. \[f(x')\mathbin{*_K} f(x) = f(x'\mathbin{*_G}x)=f(e_G)=e_K\text{.}\] Daher ist dann \(f(x')\) das Inverse von \(f(x)\).

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