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Der Gauß-Algorithmus kann durch eine Eliminationsmatrix mit der die Koeffizientenmatrix von links multipliziert wird realisiert werde. Wie lautet die Eliminationsmatrix E für die Koeffizientenmatrix

A =(

1
-1
-2
-2

)


was ist eine eliminationsmatrix und wie komme ich darauf?

von

2 Antworten

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Beste Antwort
Unter einer Elementarmatrix oder Eliminationsmatrix versteht man in der linearen Algebra eine quadratische Matrix, welche sich entweder durch die Änderung eines einzigen Eintrages oder durch Vertauschen zweier Zeilen von einer -Einheitsmatrix unterscheidet. (Wikipedia)


Nun, Multiplikation von Links beschreibt Zeilenoperationen.

Wenn Du die untere Zeile manipulieren willst, also erste Zeile mal 2 zur unteren dann wird von links mit

{{1,0},{2,1}} multipliziert das ergibt dann {{1,-1},{0,-4}}

von 13 k

und dann?

ich versteh das  nicht ganz

Die Eliminationsmatrix soll so gewählt werden, dass - genau wie beim Gauß-Algorithmus - die untere Dreiecksmatrix mit 0'en angefüllt wird. In diesem Fall soll nur aus der \(-2\) in der erste Spalte eine \(0\) werden. Die Multiplikation sähe ja im Prinzip so aus:

$$\begin{array}{} & \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -2 & -2 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \colorbox{#ffff00}{x} & \colorbox{#ffff00}{1} \end{pmatrix} & \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ \colorbox{#ffff00}{0} & ? \end{pmatrix} \end{array}$$ Die Matrix links unten ist zu finden. Sie soll sich nur in einem Element von der Einheitsmatrix unterscheiden (s. Wiki). Das \(x\) der zweiten Zeile ist jetzt so zu wählen, dass aus der \(-2\) in der ersten Spalte die gelb markierte \(0\) wird. Also hier muss sein:

$$ \colorbox{#ffff00}{x} \cdot 1 + \colorbox{#ffff00}{1} \cdot (-2) = 0$$

Daraus folgt \(x=2\). Also ist:

$$ \colorbox{#ffff00}{2} \cdot 1 + \colorbox{#ffff00}{1} \cdot (-2) = 0$$ genau das hat Wächter in seiner Antwort getan. Das Resultat in Position des obigen Fragezeichens ist hier unwichtig. Es ist dann

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \colorbox{#ffff00}{2} & \colorbox{#ffff00}{1} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -2 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ \colorbox{#ffff00}{0} & -4 \end{pmatrix}$$ Gruß Werner

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Das ist die inverse von der Matrix, also =

1/2      -1/4
-1/2     -1/4

von 228 k 🚀

irgendwie zeigt er das bei mir als falsch an

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