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 Seien a, b und c ganze Zahlen. Sind folgende Aussagen wahr? Begründen Sie mit Hilfe der Definition.


a)   Wenn a|c, dann gilt a|(b*c)

b)   Wenn a|b und a|c, dann gilt a|(b+c)

c)   Wenn a|b und b|a, dann ist a=b

d)   Wenn a|b und b|c, so gilt auch a|c

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2 Antworten

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a)

Die Aussage ist wahr.

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Sei \(a\mid c\). Dann gibt es eine ganze Zahl \(x\in \mathbb{Z}\) mit \(c = x\cdot a\). Dann ist \[b\cdot c = b\cdot (x\cdot a)=\underbrace{(b\cdot x)}_{\in\mathbb{Z}}\cdot a\text{,}\] so dass dann \(a \mid (b\cdot c)\) ist.

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b)

Die Aussage ist wahr.

[spoiler]

Sei \(a\mid b\) und \(a\mid c\). Dann gibt es ganze Zahlen \(x, y\in \mathbb{Z}\) mit \(b = x\cdot a\) und \(c = y\cdot a\). Dann ist \[b+c = x\cdot a + y\cdot a=\underbrace{(x+y)}_{\in\mathbb{Z}}\cdot a\text{,}\] so dass dann \(a \mid (b+ c)\) ist.

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c)

Die Aussage ist nicht unbedingt wahr.

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Gegenbeispiel:

Betrachte die ganzen Zahlen a = -1 und b = 1. Es gibt \(x = -1\in\mathbb{Z}\) mit \[b = 1 = (-1)\cdot(-1) = x\cdot a \quad\text{ und }\quad a = -1 = (-1)\cdot 1 = x \cdot b\text{,}\] so dass dann \(a \mid b\) und \(b\mid a\) ist. Jedoch ist \(a = -1 \ne 1 = b\).

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b)

Die Aussage ist wahr.

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Sei \(a\mid b\) und \(b\mid c\). Dann gibt es ganze Zahlen \(x, y\in \mathbb{Z}\) mit \(b = x\cdot a\) und \(c = y\cdot b\). Dann ist \[c = y\cdot b = y\cdot (x\cdot a) =\underbrace{(y\cdot x)}_{\in\mathbb{Z}}\cdot a\text{,}\] so dass dann \(a \mid c\) ist.

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von 1,2 k
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Es gibt unterschiedliche Definitionen von |. In jedem Falle gilt in der Grundmenge ℕ, dass alle Aussagen wahr sind.

a)  Wenn a|c, dann gilt a|(b*c) wahr
b)  Wenn a|b und a|c, dann gilt a|(b+c) wahr
c)  Wenn a|b und b|a, dann ist a=b wahr
d)  Wenn a|b und b|c, so gilt auch a|c wahr

In ℤ ist c nicht immer wahr.

von 47 k

Oh. Sorry. Ich habe gerade "Teiler" in der Frage präzisiert. Hoffe, dass deine Antwort dazu passt.

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