Definitionsbereich bestimmen und Kurve parametrisieren?

Question

Weiss jemand wie man auf die Definitionsbereiche für t  (a. bis c.)  kommt und wie c) überhaupt geht?

Aufgabe: Parametrisieren Sie die angegebenen Kurven, d.h. geben Sie Funktionen x(t), y(t)
sowie den Definitionsbereich für t an, so dass das Bild der Zuordnung

  der angegebenen Kurve entspricht.
a) Die Strecke von P(−3|2) zu Q(15|29).
b) Die Gerade durch R(8|8) und S(−2|38).

c) Eine (beliebige) Kurve durch die Punkte A(−1| − 5), B(1|3) und C(3|19). (Hier gibt es unendlich viele mögliche Kurven.)  (keine Ahnung wie die Aufgabe geht...)

Comments

Der Definitionsbereich für t ist davon abhängig, wie die Parametrisierung Gewält wurde.

Answer 1

Hallo mistermathe,

für a) und b) sollte es doch kein Problem sein. Bilde zunächst eine Geradengleichung in Parameterform. Im Falle von a):

$$f(t) = \begin{pmatrix} x(t)\\ y(t)\end{pmatrix} = P + t \cdot (Q - P) = \begin{pmatrix}-3\\ 2\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}18\\ 27\end{pmatrix}$$ und da nur die Strecke $PQ$ abgebildet werden soll, ist der Definitionsbereich

$$t \in [0 \dots 1]$$ die Funktionen sind dann $$x(t) = -3 + 18t \text{;} \quad y(t) = 2 + 27t$$ bei b) geht es genauso: $$f(t) = R + t \cdot (S-R)= \begin{pmatrix}8\\ 8\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}-10\\ 30\end{pmatrix}$$ mit den Funktionen: $$x(t) = 8 -10t\text{;} \quad y(t) = 8 + 30 t$$ mit dem Unterschied, dass hier die ganze Gerade abgebildet werden soll - also $t \in \mathbb{R}$

Bei c) gibt es - wie schon erwähnt - unendlich viele Möglichkeiten. Ich stelle Dir hier eine vor, die Du in der Schule nicht lernst. Den Definitionsbereich legen wir im Vorfeld bereits mit $t \in [0 \dots 1]$ fest. Bei $t=0$ soll sich $f(t)$ im Punkt $A$, bei $t=0,5$ bei $B$ und bei $t=1$ in $C$ befinden. Dazu brauchen wir drei linearen Funktionen, deren Nullstellen jeweils bei $0$, $0,5$ und $1$ liegen:

$$\begin{aligned} h_0 &= t \\ h_{0,5} &= 2t-1 \\ h_1 &= t-1 \end{aligned}$$ Jetzt bilden wir drei weitere Funktionen, die in allen Punkten, die nicht den aktuellen Punkt betreffen, zu 0 werden (ich erklär's gleich näher).

$$\begin{aligned} w_A(t) &= h_{0,5} \cdot h_{1} &&= (2t-1)(t-1)\\ w_B(t) &= -4 \cdot h_0 \cdot h_1 &&= 4t(1-t)\\ w_C(t) &= h_0 \cdot h_{0,5} &&= t(2t-1)\end{aligned}$$ Die Faktoren (hier die $-4$) dienen nur dazu, die Funktion auf 1 zu normieren; $w_B(0,5)$ muss =1 sein. Jetzt setze ich alles zu $f(t)$ zusammen:

$$f(t) = w_A \cdot A + w_B \cdot B + w_C \cdot C$$ was habe ich jetzt erreicht? Nun - wenn $t=0$ ist, dann sind $w_B$ und $w_C$ ebenso gleich 0 - also ist $f(0)=A$. Ist $t=0,5$, dann sind $w_A$ und $w_C$ gleich 0 - also ist $f(0,5)=B$ und genauso ist $f(1)=C$. Im Bild sieht das so aus:

Das Ausmultiplizieren von $f(t)$ zu den Funktionen $x(t)$ und $y(t)$ überlasse ich Dir ;-)

Der Vorteil dieser Vorgehensweise ist, dass es dabei völlig egal ist, wie die drei Punkte A, B und C liegen. Sie dürfen auch auf einander liegen. Weiterhin ist das Ergebnis unabhängig vom gewählten Koordinatensystem - die Kurve ist imme die gleiche. Wenn Du eine Parabel durch die Punkte legen würdest, also eine Funktion der Art $f(x)=ax^2+bx+c$ geht das in diesem speziellen Fall auch, im allgemeinen Fall aber nicht und es ist weniger elegant.