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Welche reelle Lösungen besitzt die folgende Gleichung ?

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4=(x-1)2

±2=x-1

x_(1,2)=1±2

x_(1)=-1

x_(2)=3

Tipp:  0=(x1)2(x+2)4(x+2)=((x1)222)(x+2)=(x3)(x+1)(x+2)0=(x-1)^2(x+2)-4(x+2)=\big((x-1)^2-2^2\big)(x+2)=(x-3)(x+1)(x+2).

Du kannst nicht einfach durch x+2 dividieren.

Doch kann ich schon. Ich schließe einfach -2 als Lösung aus.

Du kannst aber nicht einfach 2-2 als Lösung ausschließen, koffi123. Denn für x=2x = -2 ist die Gleichung erfüllt. 2-2 ist eine Lösung.

-2 ist eine Lösung.

Das ist in der Tat ungünstig.

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(x1)2(x+2)=4(x+2){(x-1)}^2\cdot (x+2) = 4\cdot (x+2)

1. Fall: x+2=0x + 2 = 0 bzw. x=2x = -2

In diesem Fall erhält man die wahre Aussage 0=00 = 0, weshalb x=2Rx = -2\in\mathbb{R} eine reelle Lösung der Gleichung ist.

2. Fall: x+20x + 2 \ne 0 bzw. x2x \ne -2

In diesem Fall kann man bei der Gleichung durch x+2x + 2 dividieren. (x1)2(x+2)=4(x+2){(x-1)}^2\cdot (x+2) = 4\cdot (x+2)(x1)2=4\Longleftrightarrow {(x-1)}^2 = 4x1=±4\Longleftrightarrow x-1 = \pm \sqrt{4}x1=±2\Longleftrightarrow x-1 = \pm 2x=1±2\Longleftrightarrow x = 1\pm 2
Demnach erhält man die weiteren Lösungen x=12=1Rx = 1 - 2 = -1\in\mathbb{R} und x=1+2=3Rx = 1 + 2 = 3\in\mathbb{R}.

Ergebnis:

Die rellen Lösungen sind x=2x = -2 bzw. x=1x = -1 bzw. x=3x = 3.

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Alternativ kann man auch so vorgehen, wie es nn bereits als Tipp gegeben hat ...

(x1)2(x+2)=4(x+2){(x-1)^2} \cdot (x+2) = 4\cdot (x+2)

(x1)2(x+2)4(x+2)=0\Longleftrightarrow\quad {(x-1)^2} \cdot (x+2) - 4\cdot (x+2) = 0

((x1)24)(x+2)=0\Longleftrightarrow\quad \left({(x-1)^2} - 4\right)\cdot (x+2) = 0

((x1)222)(x+2)=0\Longleftrightarrow\quad \left({(x-1)^2} - 2^2\right)\cdot (x+2) = 0

(x12)(x1+2)(x+2)=0\Longleftrightarrow\quad (x-1 - 2)\cdot (x-1 + 2)\cdot (x+2) = 0

(x3)(x+1)(x+2)=0\Longleftrightarrow\quad (x-3)\cdot (x + 1)\cdot (x+2) = 0

x3=0 oder x+1=0 oder x+2=0\Longleftrightarrow\quad x-3 = 0 \text{ oder } x + 1 = 0 \text{ oder } x+2 = 0

x=3 oder x=1 oder x=2\Longleftrightarrow\quad x = 3 \text{ oder } x = -1 \text{ oder } x= -2

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