Zeigen Sie, dass sich jede Funktion f:C→C

Question

$$ \text{a) Zeigen Sie, dass sich jede Funktion } f : \mathbb{C} → \mathbb{C} \text{ schreiben lässt als } f = g + h, \text{ wobei } g : \mathbb{C} → \mathbb{C} \text{ eine ungerade und } h : \mathbb{C} → \mathbb{C} \text{ eine gerade Funktion ist.}$$

$$ \text{b) Sei nun } f(z) = e^z \text{ die Exponentialfunktion und } f = g + h \text { wie in (a). Der ungerade Anteil der Exponentialfunktion heißt Sinus hyperbolicus und wird mit } sinh(z) := g(z) \text{ bezeichnet; der gerade Anteil der Exponentialfunktion heißt Kosinus hyperbolicus und wird mit } cosh(z) := h(z) \text{ bezeichnet. Finden Sie mithilfe von (a) Formeln für sinh(z) und cosh(z)}$$

c) Berechnen Sie die Potenzreihendarstellungen von Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus.

d) Beweisen Sie die Additionstheoreme für Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus sowie den
hyperbolischen Pythagoras.

(i) sinh(z ± w) = sinh(z) cosh(w) ± cosh(z) sinh(w)
(ii) cosh(z ± w) = cosh(z) cosh(w) ± sinh(z) sinh(w)
(iii) cosh²(z) − sinh²(z) = 1

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Beweisen Sie die Additionstheoreme für Sinus

Stichworte: additionstheorem,sinus,cosinus,analysis,periode

(a) Zeigen Sie, dass sich jede Funktion f : C −→ C schreiben lässt als f = g + h, wobei g : C −→ C eine
ungerade und h : C −→ C eine gerade Funktion ist.
(b) Sei nun f(z) = e^z die Exponentialfunktion und f = g + h wie in (a). Der ungerade Anteil der
Exponentialfunktion heißt Sinus hyperbolicus und wird mit sinh(z) := g(z) bezeichnet; der gerade
Anteil der Exponentialfunktion heißt Kosinus hyperbolicus und wird mit cosh(z) := h(z) bezeichnet.
Finden Sie mithilfe von (a) Formeln für sinh(z) und cosh(z).
(c) Berechnen Sie die Potenzreihendarstellungen von Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus.
(d) Beweisen Sie die Additionstheoreme für Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus sowie den
hyperbolischen Pythagoras.
(i) sinh(z ± w) = sinh(z) cosh(w) ± cosh(z) sinh(w)
(ii) cosh(z ± w) = cosh(z) cosh(w) ± sinh(z) sinh(w)
(iii) cosh²(z) − sinh²(z) = 1

Bräuchte die (b) und die (d)!!!

Answer 1

Zu (a):

Für jede Funktion \(f : \mathbb{C}\to\mathbb{C}\) ist durch \[g : \mathbb{C}\to \mathbb{C},\quad z\mapsto \frac{f(z)-f(-z)}{2}\] und \[h : \mathbb{C}\to \mathbb{C},\quad z\mapsto \frac{f(z)+f(-z)}{2}\] die Zerlegung \(f = g + h\) von \(f\) in eine ungerade Funktion \(g\) und eine gerade Funktion \(h\) gegeben.

Zu (b):

Mit den in (a) gefundenen Formeln erhält man \[\sinh(z) = \frac{\text{e}^{z}-\text{e}^{-z}}{2}\] und \[\cosh(z) = \frac{\text{e}^{z}+\text{e}^{-z}}{2}\text{.}\]

Zu (d):

(i)

Für alle \(z, w\in\mathbb{C}\) gilt: \[\begin{aligned}&\sinh(z)\cdot\cosh(w) + \cosh(z)\cdot\sinh(w) \\ & \stackrel{\text{(b)}}{=} \frac{\text{e}^{z}-\text{e}^{-z}}{2}\cdot \frac{\text{e}^{w}+\text{e}^{-w}}{2} + \frac{\text{e}^{z}+\text{e}^{-z}}{2}\cdot \frac{\text{e}^{w}-\text{e}^{-w}}{2} \\ & = \frac{\text{e}^{z}\text{e}^{w}-\text{e}^{-z}\text{e}^{w}+\text{e}^{z}\text{e}^{-w}-\text{e}^{-z}\text{e}^{-w}}{4} + \frac{\text{e}^{z}\text{e}^{w}+\text{e}^{-z}\text{e}^{w}-\text{e}^{z}\text{e}^{-w}-\text{e}^{-z}\text{e}^{-w}}{4} \\ & = \frac{2\text{e}^{z}\text{e}^{w}-2\text{e}^{-z}\text{e}^{-w}}{4} \\ & = \frac{\text{e}^{z}\text{e}^{w}-\text{e}^{-z}\text{e}^{-w}}{2} \\ & = \frac{\text{e}^{z+w}-\text{e}^{-(z+w)}}{2}\\ & = \sinh\left(z+w\right) \end{aligned}\]

Analog kann man \(\sinh\left(z-w\right) = \sinh(z)\cdot\cosh(w) - \cosh(z)\cdot\sinh(w)\) zeigen, oder man setzt \(-w\) für \(w\) ein und erhält: \[\sinh\left(z-w\right) = \sinh(z)\cdot\cosh(-w) + \cosh(z)\cdot\sinh(-w)\text{.}\] Nutzt man nun, dass \(\cosh\) eine gerade Funktion ist, und \(\sinh\) eine ungerade Funktion ist, erhält man \[\begin{aligned}\sinh\left(z-w\right) & = \sinh(z)\cdot\cosh(-w) + \cosh(z)\cdot\sinh(-w) \\ & = \sinh(z)\cdot\cosh(w) + \cosh(z)\cdot\left(-\sinh(w)\right) \\ & = \sinh(z)\cdot\cosh(w) - \cosh(z)\cdot\sinh(w)\text{.}\end{aligned}\]

(ii)

Analog zu (i).

(iii)

Analog wie in (i) bzw. (ii). Ansonsten kann man dass auch als Spezialfall von (ii) sehen. Setzt man in (ii) \(w = z\), so erhält man auf der einen Seite \[\cosh(z - z) = \cosh(0) = \frac{\text{e}^{0}+\text{e}^{-0}}{2} = \frac{1+1}{2} = 1\] und auf der anderen Seite \[\cosh(z)\cdot\cosh(z)-\sinh(z)\cdot\sinh(z) = \left(\cosh(z)\right)^2 - \left(\sinh(z)\right)^2\text{.}\]

Answer 2

a)

es g(z)=(f(z)-f(-z))/2 und h(z)=(f(z)+f(-z))/2

Dann ist alles geforderte erfüllt.

b) setze in a) f(z)=e^z ein

c) e^z=∑ (n=0 bis ∞) z^n/n!=1+z+z^2/2+z^3/6+z^4/24+z^5/120+...

Zerlege in gerade und ungerade Potenzen:

sinh(z)=∑ (n=0 bis ∞) z^{2n+1}/(2n+1)!=z+z^3/6+z^5/120+...

cosh(z)=∑ (n=0 bis ∞) z^{2n}/(2n)!=1+z^2/2+z^4/24+...

d) verwende die in b) gefundene Definition und forme um