Bestimme Maximum und Minimum von f: Rn --> R

Question

Bestimmen Sie das Maximum und das Minimum von f: R ⁿ → R mit

 f(x) := ∑i=1 n xi unter der Nebenbedingung ∑ i=1 n xi ²

mit  Hilfe der Lagrangschen Multiplikationsmethode. Überprüfen Sie Ich Ergebnis mit Hilfe der Cauchy- Schwarzschen

Ungleichung.

Comments

Hallo

 heisst das x_i oder xⁱ in der Summe? und die nebenbedingung ist ein Ausdruck bzw. Term kene Bedingung.

wo scheiterst du denn? denn grad f ist doch egal was nun f ist leicht zu berechnen? Wenn du Schwierigkeiten mit n hast, machs erstmal mit n=2 oder 3.

Gruß lul

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gemeint ist folgendes:

 

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ich habe die gleiche Aufgabe.

Es geht um $$f(x)=\sum_{i=1}^n x_i$$ unter Nebenbedingung  $$\sum_{i=1}^n x^2_i$$

Dann ist die Langrangefunktion: $$L(x_1,...,x_n, \lambda) =\sum_{i=1}^n x_i + \lambda (\sum_{i=1}^n x^2_i -1 )$$

Wenn ich den Gradienten von L =0 setze, erhalte ich n+1 Gleichungen, z.b

$$L_{x_1}= 1+\lambda 2 x_1=0$$

bis

$$L_{x_n}= 1+\lambda 2 x_n=0$$

und dann noch $$L_{\lambda}=(\sum_{i=1}^n x^2_i -1 ) =0$$

Wie löse ich das am besten?

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Es ist $x_i=-\frac{1}{2\lambda}$ für alle $i$. Also $x_1=\cdots= x_n$.

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Aber muss man das danm nicht in die letzte Gleichung noch einsetzen. Man erhält doch dann $$\lambda= \sqrt{n}/2$$ ?

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$\lambda$ interessiert am Ende nicht. Gesucht sind $x_1,\ldots,x_n$.

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Was hilft dann meine letzte Gleichung?

Und was habe ich jetzt davon dass$$x_i=-1/2\lambda$$ ist?

Was kann ich aussagen?

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Rechne wie Du willst. Mit oder ohne Lambda. Hauptsache, Du kannst die x_i angeben.

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Dann ist $$lambda =+\sqrt{n}/2$$

Und damit $$f(x)= n \sqrt{n}/2$$ ist das richtig?

Wie überprüft man das Ergebnis mit Cauchy Schwarz?

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Noch mal: Gefragt ist nach den x_i. Die sollst Du angeben. Das Lambda interessiert nicht, auch wenn Du es ausgerechnet hast.  Und es gibt auch zwei Lösungen. Eine für die Minimalstelle und eine für die Maximalstelle.

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Ich verstehe nicht wie ich die x_i angeben soll. Kannst du mir da nochmal helfen?

Answer 1

Gesucht sind Maximum und Minimum von $f : \mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}$ mit $f(x) = \sum_{i=1}^{n} x_i$ unter der Nebenbedingung $\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2} = 1$. Die Nebenbedingung kann man äquivalent zu $\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2} - 1 = 0$ umformen.

Betrachte nun die Lagrange-Funktion $L$, welche durch $L (x_1, \dots, x_n, \lambda) = f(x_1, \dots, x_n) +\lambda\cdot\left(\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}-1\right)=\sum_{i=1}^{n} x_i+\lambda\cdot\left(\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}-1\right)$ gegeben ist. Nun ist das Gleichungssystem $\nabla L (x_1, \dots, x_n, \lambda) = 0$ zu lösen.

$\begin{cases}\forall k\in{1, \dots, n} : \frac{\partial}{\partial x_k}L(x_1, \dots, x_n, \lambda) =0\\ \frac{\partial}{\partial \lambda}L(x_1, \dots, x_n, \lambda ) =0\end{cases}$

$\begin{cases}\forall k\in{1, \dots, n} : 1+\lambda\cdot 2\cdot x_{k}=0\\ \sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}-1=0\end{cases}$

Auflösen der ersten Gleichungen nach $x_{k}$.

$\begin{cases}\forall k\in{1, \dots, n} : x_{k}=-\frac{1}{2\lambda}\\ \sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}-1=0\end{cases}$

Einsetzen in der ersten Gleichungen in die letzte Gleichung und Auflösen nach $\lambda$.

$\begin{cases}\forall k\in{1, \dots, n} : x_{k}=-\frac{1}{2\lambda}\\ \sum_{i=1}^{n}\left(-\frac{1}{2\lambda}\right)^{2}-1=0\end{cases}$

$\begin{cases}\forall k\in{1, \dots, n} : x_{k}=-\frac{1}{2\lambda}\\ n\cdot\left(-\frac{1}{2\lambda}\right)^{2}-1=0\end{cases}$

$\begin{cases}\forall k\in{1, \dots, n} : x_{k}=-\frac{1}{2\lambda}\\ n\cdot\frac{1}{4\lambda^2}-1=0\end{cases}$

$\begin{cases}\forall k\in{1, \dots, n} : x_{k}=-\frac{1}{2\lambda}\\ n\cdot\frac{1}{4\lambda^2}= 1\end{cases}$

$\begin{cases}\forall k\in{1, \dots, n} : x_{k}=-\frac{1}{2\lambda}\\ \frac{n}{4}= \lambda^2\end{cases}$

$\begin{cases}\forall k\in{1, \dots, n} : x_{k}=-\frac{1}{2\lambda}\\ \lambda = \pm \frac{\sqrt{n}}{2}\end{cases}$

Einsetzen der letzen Gleichung in die ersten Gleichungen.

$\begin{cases}\forall k\in{1, \dots, n} : x_{k}=-\frac{1}{2\cdot\left(\pm \frac{\sqrt{n}}{2}\right)}\\ \lambda = \pm \frac{\sqrt{n}}{2}\end{cases}$

$\begin{cases}\forall k\in{1, \dots, n} : x_{k}=\mp\frac{1}{\sqrt{n}}\\ \lambda = \pm \frac{\sqrt{n}}{2}\end{cases}$

Damit hat man zwei kritische Punkte:
$\left(x_1, \dots, x_n\right) = \left(-\frac{1}{\sqrt{n}}, \dots, -\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$ bzw. $\left(x_1, \dots, x_n\right) = \left(\frac{1}{\sqrt{n}}, \dots, \frac{1}{\sqrt{n}}\right)$

Da die Nebenbedingung $\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2} = 1$ eine kompakte Menge im $\mathbb{R}^n$ beschreibt, und $f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ ststig ist, existieren Maximum und Minimum von $f$ unter der Nebenbedingung. Ein kritischer Punkt muss nun die Minimumstelle sein und der andere kritische Punkt die Maximumstelle. Es ist $f\left(-\frac{1}{\sqrt{n}}, \dots, -\frac{1}{\sqrt{n}}\right) = \sum_{i=1}^{n}\left(-\frac{1}{\sqrt{n}}\right) = n\cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{n}}\right) = -\sqrt{n}<0$ und $f\left(\frac{1}{\sqrt{n}}, \dots, \frac{1}{\sqrt{n}}\right) = \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{n}} = n\cdot \frac{1}{\sqrt{n}} = \sqrt{n}>0\text{.}$

Demnach befindet sich das Minimum von $f$ unter der Nebenbedingung bei $\left(x_1, \dots, x_n\right) = \left(-\frac{1}{\sqrt{n}}, \dots, -\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$ und hat den Wert $-\sqrt{n}$, und das Maximum von $f$ unter der Nebenbedingung befindet sich bei $\left(x_1, \dots, x_n\right) = \left(\frac{1}{\sqrt{n}}, \dots, \frac{1}{\sqrt{n}}\right)$ und hat den Wert $\sqrt{n}$.

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Mit der Schwarzschen Ungleichung erhält man $\begin{aligned}\left\lvert f \left(x\right) \right\rvert^2 & = \left\lvert \sum_{i=1}^{n}x_i \right\rvert^2 = \left\lvert \sum_{i=1}^{n}x_i\cdot 1 \right\rvert^2 \\ & =\left\lvert \left\langle\begin{pmatrix}x_1 \\ \vdots \\ x_{n}\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1 \\ \vdots \\ 1\end{pmatrix}\right\rangle \right\rvert^2 \\ & \leq \left\lVert\begin{pmatrix}x_1 \\ \vdots \\ x_{n}\end{pmatrix}\right\rVert^{2}\cdot \left\lVert\begin{pmatrix}1 \\ \vdots \\ 1\end{pmatrix}\right\rVert^{2} \\ & = \underbrace{\left(\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}\right)}_{=1 \text{wegen Nebenbedingung}}\cdot \underbrace{\left(\sum_{i=1}^{n} 1^{2}\right)}_{=n} = n\text{.}\end{aligned}$ also $\left\lvert f\left(x \right)\right\rvert\leq \sqrt{n}$. Damit erhält man $-\sqrt{n}\leq f(x) \leq \sqrt{n}$ für alle $x\in \mathbb{R}$, die die Nebenbedingung erfüllen. Diese Abschätzung stimmt gut mit den Werten $-\sqrt{n}$ bzw. $\sqrt{n}$ für das Minimum bzw. Maximum von $f$ unter der Nebenbedingung überein.

Comments

Tausen Dank:)

Jetzt habe ich alles verstanden:)