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Ich habe im Internet folgende Aufgaben gefunden. Mich interessiert hier die Aufgabe 1 a.

∑n=1    (-1)^n(n/n+1)^n     Leider ist mir nicht deutlich klar, welche Regel bei der Lösung hier angwendet wurde. Vor allem ist mehr der schritt lim n-> ∞ (1-1/n+1)^n+1 * lim n ->∞ (1- 1/n+1)^-1 unklar und wie daraus e resultiert. 

von
Ich habe im Internet folgende Aufgaben gefunden.

Und welche Vorkenntnisse sind bei Dir zum Thema vorhanden?

Ich hoffe viele, schreibe Montag Klausur. Normalerweise prüfe ich mit Wurzel und Quotientenkriterium, was in diesem Fall leider nichts aussagend ist.

Also ich vermute schon, dass die Reihe divergiert, wenn man sich die ersten Glieder anschaut.

|an - a|>= ∈ müsste man jetzt beweisen glaube ich

|an - a|>= ∈ müsste man jetzt beweisen glaube ich

Und was soll mit \(a_n\) und \(a\) bezeichnet sein?

Könnte man nicht theoretisch einfach die Unbeschränkheit beweisen? Damit ist es doch auch gleich Divergent, oder?

Unbeschraenktheit von was? Was ist "es"?

Ah warte findet hier nicht wegen n=1 eine Indexverschiebung statt? Also an = Ist unsere Folge ohne die 1 vermute ich mal.

Ich dachte die Reihe sei unbeschränkt, aber das war zu schnell gedacht.

Von welcher Folge sprichst Du? Hier geht es ja um eine Reihe. Der Unterschied ist Dir bekannt?

Oh ja sorry. Ja ich weiß, dass es um eine Reihe geht. Ich bin halt wirklich nur verwirrt nach welchem Kriterium hier vorgegangen wurde...Ich kenne leider nur das Quotientenkriterium, Wurzelkriterium, Leibnitzkriterium

Und ich weiß, wenn eine Reihe oder auch Folge unbeschränkt ist dann ist sie auch divergent.

Bei der Wahl der besten Antwort hast Du auch danebengehauen. Hier kommt das Trivialkriterium zum Einsatz! Das Leibniz-Kriterium ist hingegen gar nicht anwendbar. Daraus folgt aber nix.

  Tschuldige; mit bissele Aufwand lässt sich zeigen, dass der Grenzwert nicht Null ist . Zunächst bedienen wir uns einer Standard_Transformation, der ===>  Inversion am Einheitskreis .


     z  :=  1 / n  ,  z  ===>  0        (  1  )

  F  (  n  )  :=   n  ^  n  /  (  n  +  1  )  ^  n  =      (  2a  )



                                      1 / z ^  ( 1/z )

     =   F  (  z  )  =   ----------------------------------       =     (  2b  )

                                     ( 1 + 1/z ) ^  ( 1/z )



     =     1 / (  z  +  1  )  ^  ( 1/z )       (  2c  )


      Jetzt ( 2c ) logaritmieren


   G  (  z  )  :=  ln  (  F  )  =  -  ( 1/z )  ln  (  z  +  1  )       (  3a  )


   Aber  (  3a  ) ist doch nichts weiter als der Differenzenquotient  ( DQ ) der Funktion


      f  (  z  )  =  -  ln  (  z  +  1  )         (  3b  )


      genommen zwoschen z0  =  0 und dert beliebigen Stelle z - schlicht und ergreifend, weil f ( 0 )  =  0  In ( 1 ) betrachten wir aber genau den Grenzwert dieses DQ für z gegen Null; und der ist, wie ihr alle wisst, gleich  f  '  (  0  )


      f  '  (  z  )  =  -  1 / (  z  +  1  )       (  4a  )

     f  '  (  0  )  =  (  -  1  )  =  lim  G  (  z  )      (  4b  )


   Wenn aber der Logaritmus in ( 3a )    gegen Minus   Eins strebt, so F selber gegen 1 / e . Hinzu kommt noch wegen dem vorzeichenwechsel ( - 1 )  ^ n   , dass deine Reihenglieder nicht mal eine konvergente Folge bilden geschweige eine Nullfolge.

   Komisches Wort:  geschweige. Seine Etymologie bedeutet doch: Wir wollen davon schweigen, sie sei eine Nullfolge; nur die ganz ganz dummen glauben das ....

   Der Angelsachse sagt ja " let alone "

   " Lass die Nullfolge allein im Regen stehen ... "

   Von meinem Kommilitonen wolf Berger stammt ja das reziproke English for Runaways.

    " Thank you. "

    " Never mind. "

     Übersetzt

     " Danke "

    "  Machen Sie sich nichts daraus ... "

    Und ===> Hans_Georg Gadamer kennt den Konflikt zwischen Materialismus und Idealismus; die Frage nach Geist und Materie:

    " What is mind? "

    " No matter. "

   " And what is matter? "

    " Never mind ... "

2 Antworten

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Beste Antwort

Hallo

solche Reihen  mit abwechselnden Vorzeichenheissen Leibniz -Reihen, sie   konvergieren, wenn der Betrag der Summanden eine Nullfolge ist.

 hier ist der Betrag (n/(n+1))^n und davon wird gezeigt, dass es keine Nullfolge ist.

dabei wird benutzt, dass (1+a/n)^n gegen e^a konvergiert, mit a=-1 also gegen e^{-1}

(das mit |a_n-a|<ε benutzt man für Konvergenz von folgen, nicht Reihen.)

also bei alternierenden Reihen nicht Wurzel oder Quotientenkriterim benutzen, sonder eben obiges Leibnizkriterium, die ersten Glieder einer Reihe anzusehen hilft nie zu einem Beweis!

Gruß lul

von 42 k

Ahso!! Na da habe ich wohl wirklich Reihen und Folgen verwechselt!

vielen lieben Dank!

solche Reihen  mit abwechselnden Vorzeichenheissen Leibniz -Reihen, sie  konvergieren, wenn der Betrag der Summanden eine Nullfolge ist.

Da fehlt noch eine Eigenschaft!

Hallo

ja es fehlt  das "monoton"  richtig also monoton fallende Nullfolge, Danke Gast , aber warum sagst du es nicht einfach?

Gruß lul

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  n / ( n + 1 )  ===>  1   ; hier ist bereits das Kriterium verletzt, dass die Glieder der Reihe eine Nullfolge bilden müssen .

von 5,5 k

n / ( n + 1 ) ist aber gar nicht das Reihenglied.

  Bitte mich zu entschuldigen; ich mach das auch jedesmal verkehrt. Der Kommentar gehört natürlich hierher .



  Tschuldige; mit bissele Aufwand lässt sich zeigen, dass der Grenzwert nicht Null ist . Zunächst bedienen wir uns einer Standard_Transformation, der ===>  Inversion am Einheitskreis .


    z  :=  1 / n  ,  z  ===>  0        (  1  )

  F  (  n  )  :=  n  ^  n  /  (  n  +  1  )  ^  n  =      (  2a  )



                                      1 / z ^  ( 1/z )

    =  F  (  z  )  =  ----------------------------------      =    (  2b  )

                                    ( 1 + 1/z ) ^  ( 1/z )

    =    1 / (  z  +  1  )  ^  ( 1/z )      (  2c  )

      Jetzt ( 2c ) logaritmieren


  G  (  z  )  :=  ln  (  F  )  =  -  ( 1/z )  ln  (  z  +  1  )      (  3a  )


  Aber  (  3a  ) ist doch nichts weiter als der Differenzenquotient  ( DQ ) der Funktion


      f  (  z  )  =  -  ln  (  z  +  1  )        (  3b  )

      genommen zwoschen z0  =  0 und dert beliebigen Stelle z - schlicht und ergreifend, weil f ( 0 )  =  0  In ( 1 ) betrachten wir aber genau den Grenzwert dieses DQ für z gegen Null; und der ist, wie ihr alle wisst, gleich  f  '  (  0  )


      f  '  (  z  )  =  -  1 / (  z  +  1  )      (  4a  )

    f  '  (  0  )  =  (  -  1  )  =  lim  G  (  z  )      (  4b  )


  Wenn aber der Logaritmus in ( 3a )    gegen Minus  Eins strebt, so F selber gegen 1 / e . Hinzu kommt noch wegen dem vorzeichenwechsel ( - 1 )  ^ n  , dass deine Reihenglieder nicht mal eine konvergente Folge bilden geschweige eine Nullfolge.

  Komisches Wort:  geschweige. Seine Etymologie bedeutet doch: Wir wollen davon schweigen, sie sei eine Nullfolge; nur die ganz ganz dummen glauben das ....

  Der Angelsachse sagt ja " let alone "

  " Lass die Nullfolge allein im Regen stehen ... "

  Von meinem Kommilitonen wolf Berger stammt ja das reziproke English for Runaways.

    " Thank you. "

    " Never mind. "

    Übersetzt

    " Danke "

    "  Machen Sie sich nichts daraus ... "

    Und ===> Hans_Georg Gadamer kennt den Konflikt zwischen Materialismus und Idealismus; die Frage nach Geist und Materie:

    " What is mind? "

    " No matter. "

  " And what is matter? "

    " Never mind ... "

  Hier läuft was total verkehrt, weil ich mich jedesmal neu einloggen muss, wenn ich noch einen Kommentar hinzu fügen will.  Noch ein witziger Kommentar zu der Inversion  ( 1 )   , ohne die ja die Metoden der Differenzialrechnung gar nicht anwendbar wären. Ich erhielt mal den Kommentar

   " Wozu lernen wir eigentlich Definitionsbereich, wenn man so Aufgaben durch Transformation des selben lösen kann / soll ? "

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