Zeigen Sie, dass (U, ·) eine Gruppe ist.

Question

ich brauche Hilfe bei einer Aufgabe..

Die Aufgabe lautet:

Sei K ein Körper und U:= { A = ( a    0 ) : det (A) =1} ⊂ K^2x2

                                                    b    c

a) Zeigen Sie, dass (U, ·) eine Gruppe ist.

b) Ist diese Gruppe K= ℤ₂ abelsch?

Ich bedanke mich für eure Hilfe :))

Answer 1

Für "Gruppe" zeigst du

1. Abgeschlossenheit: zwei Elemente von U ergeben multipliziert wieder

eines von U; denn

$$\begin{pmatrix} a & 0 \\ b & c \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} x & 0 \\ y & z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} ax & 0 \\ bx+cy & cz \end{pmatrix}$$

also stimmt die Form und det=1 ergibt sich aus dem Determinantenmultiplikationssatz: 1*1=1.

2. assoziativ ist die Matrizenmultiplikation allgemein

3. neutrales Element ist  E =

1    0
0    1           und das ist in U; denn det(E) = 1 und oben rechts ist eine 0.

4. invers zu   A =

a  0
b  c

ist  A^{-1} =

1/a          0
-b/ac     1/c

und wegen det(A)=1 sind die Nenner alle ungleich 0.

Abelsch ist die Gruppe nicht. probiere mal

3   0
2  1/3     und

2    0
2   1/2