P(zufällig mindestens vier richtige Antworten bei Test) = ? und P(zufällig 3 Schmuggler) = ?

Question

Bitte um Hilfe bei Aufgaben zur Wahrscheinlichkeitsrechnung!

1. Aufgabe

Bei einer schriftlichen Prüfung werden der Kanditatin / dem Kandidaten fünf Fragen mit je vier Antwortmöglichkeiten vorgelegt. Genau eine der Antworten ist jeweils richtig.

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Kandidatin/ der Kandidat bei zufälligem Ankreuzen mindestens viermal die richtige Antwort kennzeichnet!

Ich weiß , dass ich hier die Gegenwkeit zur Berechnung heranziehen kann, also

P=(minde. Viermal die richtige AW) -->

1-P( keinmal die richtige AW) , aber wie ist das mit der Reihenfolge, muss ich die nicht auch berücksichtigen?? Die richtige ANtwort kann ja (multiple Choice fragen) bspw. an 1. , oder 4. Stelle stehen, oder spielt das keine Rolle?!

 Z.B.:    1.Frage      R. F. F. F. F       R->Richtig , etc.

             2.F.            F. R.F. F. F

             3.F.            F. F. R. F. F

             4.F.            F. F. F. R.F

             5.F.            F  F F  F R

   Leider verstehe ich hier nicht wie ich an die Aufgabe richtig herangehen soll, bzw. wo mein Denkfehler ist!

 2. Aufgabe:

Eine Gruppe von zehn Personen überquert eine Grenze. Zwei Personen führen Schmuggelware mit sich. Beim Grenzübertritt werden drei Personen vom Zoll zufällig ausgewählt und kontrolliert.

Berechnen Sie die Wkeit, dass unter den drei kontrollierten Personen die beiden Schmuggler der Gruppe sind!

2/10 -> schmuggler, aber wie geht es dann weiter....?????

Es wäre prima, könnte mir jemand dies verständlich erklären.

Im Voraus schon einmal vielen Dank für eure Hilfe !

Comments

Wenn du zwei Aufgaben posten möchtest, dann wäre es gut wenn du sie in zwei getrennten Fragen einstellen würdest.

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Ich weiß, dass ich hier die Gegenwkeit zur Berechnung heranziehen kann, also
P=(minde. Viermal die richtige AW) -->
1-P( keinmal die richtige AW) ...

Schreibweisen wie
P=(...) --> 1-P(...)
sind nicht gut.

Natürlich kann man die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses benutzen, wenn das von Vorteil ist. Dies wäre hier der Fall, wenn man die gesuchte Wahrscheinlichkeit über die Bernoulli-Formel mit einem Taschenrechner von eher beschränkter Funktionalität ausrechnen muss. Leider hast du aber das entsprechende Gegenereignis falsch identifiziert.

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Es liegt in meiner Absicht mir Hilfestellung und Aufklärung bezüglich "Wahrscheinlichkeitsrechnung" zu verschaffen, welche mir offensichtlich Schwierigkeiten bereitet. Wenig hilfreich und sinnfrei scheint es mir dabei zu sein, vor Augen geführt zu bekommen, dass es falsch "identifiziert" ist.

Dennoch, vielen Dank für den Hinweis!

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Diese Art der Hinweise ist hier im Forum leider weit verbreitet.

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Es ist sinnvoll Antworten auf dem vermuteten
Kenntnisstand des Fragenden zu geben.
Allzu " Abgehobenes " für Leute die es sowieso
schon wissen bringt meistens nichts.

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Das Gegenereignis zu "mindestens vier richtig" ist "höchstens drei richtig", nicht "mindestens eine richtig".

Welche Werkzeuge zur Lösung stehen denn zur Verfügung? Baumdiagramm wäre denkbar, vielleicht ist die Binomialverteilung bekannt, dann lässt sich die Wahrscheinlichkeit mit der Bernoulliformel bestimmen, oder mit einer Tabelle oder einem Taschenrechner, der so etwas kann. Im Tabellenfall käme eine Tabelle der kumulierten Binomialverteilung für n=5 (Anzahl der Fragen) und p=1/4 (Trefferwahrscheinlichkeit) infrage und dabei muss über die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses gegangen werden. Im Taschenrechnerfall muss man schauen, was der so kann, das ist je nach Modell sehr verschieden.

Das wären meine (vorläufigen) Überlegungen zu

Leider verstehe ich hier nicht wie ich an die Aufgabe richtig herangehen soll, bzw. wo mein Denkfehler ist!

Etwas ist mir noch aufgefallen:

1. Frage      R. F. F. F. F

Es waren doch jeweils nur vier Antworten, oder?

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Sehr freundlich, vielen Dank für den Hinweis! Ja, richtig. Es waren nur vier Antworten, da habe ich versehentlich jeweils eine zu viel dazu kopiert. Offenbar tat dies der Lösungsfindung keinen Abbruch! Zum Verständnis: Da die Wkeitsrechnung ein neues Themengebiet ist, mit welchem ich mich erst seit kurzem auseinandersetze , fällt es mir noch schwer einzuordnen, mit welcher Herangehensweise ich ein Problem löse. Daher auch meine Frage an die Community, mit der Bitte um Erklärung, welche sich aus dem Sinn einer Frage ja allein ergibt. Letztlich wurden mir meine Fragen just und beispiellos verständlich erklärt. Daher sei für mich abschließend zu sagen, dass sich nur Personen angesprochen fühlen sollen, die Hilfestellung anbieten, weil sie es gerne tun und Freude daran haben zu vermitteln!

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Ok, aber meine Frage nach den zur Verfügung stehenden Werkzeugen hast du damit nicht beantwortet. Um eine sinnvolle Antwort zu geben, wäre dies schon hilfreich.

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Sehr freundlich, aber einer Antwort  bedarf es hier nicht mehr.  Es wurde mir bereits erklärt!

Answer 1

Aufgabe 1:

Die Wahrscheinlichkeit für eine richtige Antwort ist \(p=1/4\). Außerdem haben wir \(n=5\) Fragen. Via Binomialverteilung:

P(X≥4)=∑(k=4 bis 5) (5 über k)*(1/4)^k*(1-(1/4))^{5-k}

Aufgabe 2:

Z= Zivilist
S= Schmuggler

Z S S = (8/10)*(2/9)*(1/8)
S Z S = (2/10)*(8/9)*(1/8)
S S Z = (2/10)*(1/9)*(8/8)

P(E)=(8/10)*(2/9)*(1/8)+(2/10)*(8/9)*(1/8)+(2/10)*(1/9)*(8/8)

P(E)=1/15

Comments

Aufgabe 2 in Antwort integriert 

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Das Paar "Zivilist - Schmuggler" ist ungefähr so passend wie "Dackel - Apfelsine".

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Genau - und eine Biene fliegt auch nur, wenn sie 2 Flügel besitzt!

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Obwohl... bei Bienen kann man das nie so genau wissen:

Das war ein kleinerer Hit in den 80ern. Die LP, von der das Stück stammt, hieß übrigens "Ein Kuß in der Irrtumstaverne", und die "Irrtumswahrscheinlichkeit" scheint ja im Prüfsetting der Aufgabe 2 recht hoch zu sein... ;-)

In den Ferien erlaube ich mir mal den einen oder anderen Scherz im Zusammenhang mit Fragen und Antworten (andere Antworter schickten schon mal den Fragesteller "eine Stunde lang Fussballspielen").

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@Frank-G

Zur Erbauung
Spruch des Tages
Wer allem gegenüber offen ist kann nicht
ganz dicht sein.

Answer 2

Die zweite Aufgabe klingt für mich nach hypergeometrischer Verteilung.

N=10

M=2

n=3

k=2

P=(M über k)*(N-M über n-k)/(N über n)=(2 über 2)*(8 über 1)/(10 über 3)

  =1 * 8 / 120 ≈ 6,67%

Answer 3

. an 1. , oder 4. Stelle stehen, oder spielt das
keine Rolle?!

Spielt keine Rolle.

Z.B.:    1.Frage      R. F. F. F. F      R->Richtig , etc.
            2.F.            F. R.F. F. F
            3.F.            F. F. R. F. F
            4.F.            F. F. F. R.F
            5.F.            F  F F  F R
 
1 Frage  mit zufällig Richtig angekreuzt
1/ 4 => 25 %

5 Fragen davon 4 Richtig angekreuzt
1 Möglichkeit
RRRRF
1/4 * 1/4 * 1/4 * 1/4 * 3/4 = 3 / 1024
Es gibt 5 Kombinationen
Alle mit derselben Wahrscheinlichkeit
1/4 * 1/4 * 1/4 * 1/4 * 3/4 = 3 / 1024
1/4 * 1/4 * 1/4 * 3/4 * 1/4 = 3 / 1024
1/4 * 1/4 * 3/4 * 1/4 * 1/4 = 3 / 1024
1/4 * 3/4 * 1/4 * 1/4 * 1/4 = 3 / 1024
3/4 * 1/4 * 1/4 * 1/4 * 1/4 = 3 / 1024

Insgesamt
5 * 3 / 1024 = 15 / 1024 => 1.47 %

Mindestens 4 mal Richtig heißt auch 1 mal 5 Richtig

1/4 * 1/4 * 1/4 * 1/4 * 1/4 = 1 / 1024 => 0.1 %

1.47 + 0.1 = 1.48 %

Comments

Die zweite Aufgabe hat racine schon gut dargestellt

Z= Zivilist
S= Schmuggler

Möglichkieten

Z S S = (8/10)*(2/9)*(1/8)
S Z S = (2/10)*(8/9)*(1/8)
S S Z = (2/10)*(1/9)*(8/8)

( 8 * 2 * 1 ) / ( 10 * 9 * 8 )
und das mal 3
0.0667 = 6.67 %

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Vielen Dank, dass du auf meine konkrete Frage eingegangen bist und auch dahingehend erklärt hast!

Laut meinem NHL, sollte als Lösung "0,015625" 1,56% herauskommen....

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1.47 + 0.1 = 1.48 %
stimmt bei mir nicht.

1.4648 + 0.0976 = 1.5625 %

Damit wäre alles im Lot auf dem Riverboat.

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Der Fehler ist hier passiert:

5 Fragen davon 4 Richtig angekreuzt
1 Möglichkeit
RRRRF
1/4 * 1/4 * 1/4 * 1/4 * 3/4 = 3 / 1024
Es gibt 5 Kombinationen

Es gibt nur vier Antwortmöglichkeiten (Choices).

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Danke, für deine Klarstellung!
Meinst du mich oder den anderen Kommentator ?

Bis auf den korrigierten Stellenwertfehler stimmen meine
Berechnungen.

Bei Bedarf nachfragen.

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Georgborn, Deine Berechnungen Stimmen:)!