Grenzwert LIm e^{x}/x! für x gegen unendlich

Question

LIm e^x/x!

x___ infinity

bitte kann man das schritt für schritt lösen

Comments

Was ist damit gemeint? Vielleicht dieses?
$$\lim\limits_{\:\:x\to\infty}{}\dfrac{\text{e}^x}{x!}$$

Answer 1

$$\lim\limits_{\:\:x\to\infty}{}\dfrac{\text{e}^x}{x!}=\lim\limits_{\:\:x\to\infty}\sum_{n=0}^{\infty}{\dfrac{x^n}{x!n!}}=\sum_{n=0}^{\infty}\lim\limits_{\:\:x\to\infty}{\dfrac{x^n}{x!n!}}=0$$

Answer 2

Falls der Grenzwert einer Folge gemeint ist. Beispielsweise zeige per Induktion über n, dass 4ⁿ<n! für alle n>8 gilt. Außerdem sollte e<3 bekannt sein. Damit hat man eⁿ/n!<(3/4)ⁿ→0.

Answer 3

die Fakultätsfunktion kannst du mit der Stirlingformel nachunten abschätzen. Denn man weiß, dass folgendes gilt:

$$ 1<\frac{x!}{\sqrt{2\pi x}\cdot \Big(\frac{x}{e}\Big)^x} \Leftrightarrow x!>\sqrt{2\pi x}\cdot \Big(\frac{x}{e}\Big)^x\qquad (*).$$

Dann ist auch damit $$ \frac{e^x}{x!}\stackrel{(*)}{<}\frac{e^x}{\sqrt{2\pi x}\cdot \Big(\frac{x}{e}\Big)^x}=\frac{1}{\sqrt{2\pi x}}\cdot \frac{e^{2x}}{x^x}=\frac{1}{\sqrt{2\pi x}}\cdot \Bigg(\frac{e^2}{x} \Bigg)^x $$

Offensichtlich wächst x^x schneller als die e-Funktion. Damit ist $$ \lim_{x \to \infty}\Bigg(\frac{e^2}{x} \Bigg)^x=0. \quad (**) $$

Insgesamt gilt damit $$ \lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x!}\stackrel{(**)}{=} 0.$$

(*) https://de.wikipedia.org/wiki/Stirlingformel