Quadratische Form Q mit Q(u,v)=<u,Tv> wobei T ein symmetrischer Operator ist. Wieso ist T eindeutig?

Question

Ich lese gerade nach längerer Pause ein Skript zur Vorlesung lineare Algebra 1 durch und dort wird behauptet, dass für zwei symmetrische Operatoren T und F folgendes gilt:

Es sei V ein Skalarproduktraum.

<u,Tv>=<u,Fv> für alle u in V => Tv=Fv

Dies soll aus der positiven Definitheit des Skalarprodukts folgen. Entweder ich habe die positive Definitheit missverstanden oder ich stehe gerade einfach nur auf dem Schlauch, aber wie kommt man darauf?

Answer 1

Man könnte das eventuell so zeigen ...

\(\begin{aligned}\langle T v - F v, T v - F v\rangle & \stackrel{[\#]}{=} \langle T v, T v - F v\rangle - \langle F v, T v - F v\rangle \\ &\stackrel{[\#]}{=} \left(\langle T v, T v\rangle - \langle T v, F v\rangle\right) - \left(\langle F v, T v\rangle - \langle F v, F v\rangle\right) \\ & = \langle T v, T v\rangle - \langle T v, F v\rangle - \langle F v, T v\rangle + \langle F v, F v\rangle \\ & \stackrel{[*]}{=} \langle T v, F v\rangle - \langle T v, F v\rangle - \langle F v, F v\rangle + \langle F v, T v\rangle \\ & = 0 \end{aligned}\)

Bei \([\#]\) wurde die Bilinearität/Sesquilinearität des Skalarprodukts verwendet. Bei \([*]\) wurde ausgenutzt, dass man aus \[\langle u, T v \rangle = \langle u, F v \rangle \quad \text{für alle }u\in V\] für \(u = T v\) bzw. \(u = F v\) insbesondere \[\langle T v, T v \rangle = \langle T v, F v \rangle \quad \text{und} \quad \langle F v, T v \rangle = \langle F v, F v \rangle \quad \] erhält.

Aufgrund der positiven Definitheit erhält man aus \(\langle T v - F v, T v - F v\rangle = 0\), dass \(T v - F v = 0\) ist, woraus man schließlich \(T v = F v\) folgern kann.