Tripel mit Eigenschaften bestimmen

Question

sorry, dass das jetzt schon die dritte Frage ist, aber das bleibt für heute die letzte und ihr habt mir so geholfen, vielleicht könnt ihr mir ja nochmal auf die Sprünge helfen.

Ich sitze schon seit 50 min vor der Aufgabe und habe keine Ideen mehr.

Bestimmen Sie alle Tripel (m, u, v) natürlicher Zahlen, die die beiden folgenden Eigenschaften erfüllen:

6²+m²=u²  und 15²+m²=v²

Ich habs schon mit Eliminationsverfahren und Determinanten versucht, aber das bringt nichts. Ich hab ja v und u die jeweils nur in einer Gleichung enthalten sind. Egal was ich mache, am Ende bleiben immer 2 Variablen, die ich nirgendwo mehr einsetzen kann.

Ich verlange keine Lösung, es wäre nur echt nett wenn mir jemand mit einer Idee helfen könnte. :)

Alex

Comments

Woher stammt diese Aufgabe denn?

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Aus einem Übungsblatt meiner Uni.

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Ok, und welcher Stoffzusammenhang darf angenommen werden?

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Wir machen gerade Grundlagen über Zahlen. Also vollständige Induktion, B-adische Darstellung, Division mit Rest etc.

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Lehramt?

                                     .

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Nein, Informatik

Answer 1

"6²+m²=u²"

kann man auch schreiben als

36+m²=u² bzw. u²-36=m².

Mit anderen Worten: Der Abstand der beiden Quadratzahlen m² und u² ist 36.

Nun nimmt der Abstand aufeinander folgender Quadratzahlen immer mehr zu. So ist z:B. 19²=361 und 20²=400 (mit einem Abstand von 39).

Also muss u schon mal kleiner als 20 sein, um so einen relativ kleinen Abstand von 36 zu erreichen.

Probiere also einfach alle Quadratzahlen kleiner als 400 durch, ob u²-36 auch eine Quadratzahl ist.

Die Möglichkeiten, die du dabei erhältst, testest du mit der zweiten Bedingung.

(Es gibt elegantere Lösungen, aber bevor du gar nichts machst, gehe lieber diesen naheliegenden Weg.)

Comments

Sorry, aber ich verstehe den Weg irgendwie gar nicht. So langsam musst du denken, dass ich echt dumm bin :D . Ist immerhin dein dritter Versuch mir zu helfen. 2 mal hats geklappt, aber hier...

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Schreibe die Quadratzahlen m² von 20²=400, 19²=361, 18²=324 bis runter zu 1²=1 auf.

Subtrahiere jeweils 36 und entscheide, ob das Ergebnis auch eine Quadratzahl ist.

Für welche Quadratzahlen m² ist auch m²-36 eine Quadratzahl?

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Ich hab gerechnet und 2 gefunden. Für 10² und 6²

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Gut. 10²-36=64=8² und 6²-36=0=0².

Nun ist die Frage, ob 0 bei euch auch zu den natürlichen Zahlen gehört oder ob die erst bei 1 losgehen.

Für u=10 ergibt sich also m=8 (und für u=6 eventuell m=0).

Wegen 15²+m²=v² ist nun also zu testen, ob

15²+8² (bzw. 15²+0²) auch eine Quadratzahl ist.

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Ja bei uns zählt die 0 als natürliche Zahl. Beide Zahlen sind in beiden Gleichungen Quadratzahlen. Also sind das die Lösungen?

Answer 2

Alle Tripel (x,y,z) natürlicher Zahlen mit x² + y² = z² lassen sich erzeugen durch

    x = n·(u² - v²)

    y = n·2uv

    z = n·(u² + v²)

indem man für n, u und v natürliche Zahlen einsetzt.

Interessant sind die Tripel, bei denen x = 6, x = 15, y = 6 oder y = 15 ist. Davon gibt es nur endliche viele.

Siehe wikipedia://Pythagoreisches Tripel.