Einfachstes verfahren zum Berechnen von Nullstellen anwenden

Question

Ich muss 3 verschiedene Nullstellen berechnen.

1.  f(x)=  x²+x-6   

2.  f(x)=  2x²-2x

3.  f(x)=  -0,4x²-0,1x+0,5

Answer 1

Hallo Leon,

Du fragtest nach dem 'einfachsten' Verfahren ... das ist natürlich sehr subjektiv. Bei $$f(x)=x^2+x-6$$ da 'sehe' ich, dass die Nullstellen $x_1=-3$ und $x_2=2$ sind. Das war einfach! Der Trick liegt in der Kenntnis des Satzes von Vieta - wenn $$0=x^2 +px+q \quad \implies x_1\cdot x_2 = q, \space x_1 + x_2 = -p$$ in diesem Fall habe ich nach einem Produkt gesucht, was $=-6$ ist, bei dem die Differenz der Faktoren $=-1$ ist.

Der nächste Fall ist auch einfach. Es fehlt das konstante Glied, also kann man $x$ ausklammern, damit ist $x_1=0$, und es bleibt $0=2x_2-2$ also $x_2=1$.

Bei $-0,4x^2-0,1x+0,5=0$ teile zunächst durch $-0,4$ bzw. multipliziere mit $-10$ und teile durch $4$, dann erhält man $$x^2 +\frac14x - \frac54 = 0$$ ja entweder man 'sieht' es oder man sieht es nicht. Auf jeden Fall hilft jetzt die pq-Formel: $$x_{1,2} = -\frac18 \pm \sqrt{\frac1{64} + \frac54} \quad \implies \space x_1 = -\frac54, \space x_2=1$$ Tipp: hier war $-0,4-0,1+0,5 =0$; d.h. eine Lösung ist $=1$; zur zweiten Lösung kommst Du wieder über den Satz von Vieta (s.o.).

Gruß Werner

Answer 2

"ich muss 3 verschiedene Nullstellen berechnen."

Und warum tust du es nicht?

1) p-q-Formel anwenden oder quadratische Ergänzung vornehmen

2) Ausklammern, Satz vom Nullprodukt anwenden

3) Durch (-0,4) teilen, dann p-q-Formel oder quadratische Ergänzung (oder gleich abc-Formel).

Zeig mal, wie weit du kommst.

Answer 3

da gibt es verschiedene Verfahren.

bei b) ist es einfach: x einmal ausklammern, dann Satz vom Nullprodukt.

Bei a) kannst du entweder mit Vieta geschickt raten (kommt man schnell auf x_1=-3 und x_2 =2) oder mit pq-Formel lösen.

Bei c) entweder abc -Formel anwenden oder erst in Normalform bringen, pq-Formel.

Answer 4

Wenn es dir um das einfachste Verfahren geht, empfehle ich zu 1. den Satz von Vieta: x²+(a+b)b+a·b=(x+a)·(x+b).

Zu 2. Erst Division durch -0.4 und dann Satz von Vieta.

Comments

"Wenn es dir um das einfachste Verfahren geht, empfehle ich zu 1. den Satz von Vieta:"

Ist das nicht ein Zirkelschluss? Anwendung von Vieta heißt doch "man kennst die Nullstellen schon", oder es führt auf die Notwendigkeit, das Gleichungssystem

a+b=-1
a*b=-6

zu lösen. Wenn man es löst (sofern man die Lösung nicht "sieht"), stößt man unterwegs auf das die qu. Gleichung, die man ohnehin lösen wollte.

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es geht um das 'sehen'. Unter der Annahme, dass die Lösung einfach - bzw. ganzzahlig und das Produkt $=-6$ ist, gibt es nur zwei Möglichkeiten: $-(1 \cdot 6)$ und $-(2 \cdot 3)$ und nun soll die Differenz noch $-1$ sein, ja dann .... ist es doch klar - oder!