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Ich habe folgende aufgaben gegeben welche ich untersuchen muss ob sie abzählbar sind oder nicht


a) Untersuchen Sie, ob die Menge aller Abbildungen $$f : \mathbb{N} \rightarrow (0, 1) \text{ abzählbar ist.}$$

b) Untersuchen Sie, ob die Menge aller Abbildungen $$f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} \text{ mit }  f(n)  \leq  f(n + 1) \forall n\in \mathbb{N} \text{ abzählbar oder überabzählbar ist.} $$

c) $$f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} \text{ mit }  f(n)  \geq  f(n + 1) \forall n\in \mathbb{N} \text{ abzählbar oder uberabzählbar ist.} \\$$


Was uns bisher gesagt wurde und ich verstande habe ist das Mengen welche Surjektiv sind, sind abzählbar. Die, die nicht surjektiv sind überabzählbar.

Surjektiv bedeutet das es zum jeden  $$b \in B \text{ mindestens ein } a \in A \text{ existiert}$$

Praktisch ausgedrückt: Habe ich bisher einfach versucht eine Umkehrabbildung zu bestimmen und dann habe ich betrachtet ob irgendwo eine Definitionslücke entsteht zb. $$   \text{Eine negative Zahl in einer Wurzel, wenn man } \mathbb{R} \text{ betrachtet oder} \frac{x}{0}$$

Dies war dann gleichbedeutend, damit das einige Werte auf die leere Menge abbilden und somit war die Abbildung nicht surjektiv.


Meine Frage ist, wie muss ich die zuvor genannte aufgaben berechnen bzw. Versuchen Surjektivität nachzuweisen um zu sehen ob die sie abzählbar sind oder nicht. Kann mir deshalb bitte jemand eine rechnerische Hilfansatz/Lösung liefern, damit ich es nachvollziehen kann?

Gefragt von

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Ist die Menge aller Abbildungen f:N→(0,1) abzählbar?

Wenn wir annehmen, dass mit (0,1) ein reelles Intervall gemeint sein soll, dann gibt es überabzählbar viele Bilder und folglich auch überabzählbar viele Abbildungen.

Beantwortet von 45 k

Ich habe mir dies schon angekuckt und mir ist bewusst dass f:N--> (0,1) nicht abzählbar bzw. Überabzählbar ist, da es keine umkehrabbildung gibt wenn man annehme, dies sei bijektiv. Ich habe das Zweite Cantor'sche Diagonalargument dazu angesehen.

Jedoch verstehe ich das zweite Cantor'sche Diagonalargument nicht ganz und ich verstehe dass f:N--> überabzählbar ist. Ich weiss aber nicht wie ich es beweisen soll. Womit stelle ich meine Umkehrfunktion auf in diesem Fall....

Vom Cantor'schen Diagonalargument habe ich noch nie etwas gehört.

https://de.wikipedia.org/wiki/Cantors_zweites_Diagonalargument

Habe jetzt dennoch nicht verstanden inwiefern ich es aufstellen soll und wie es mir in diesem Fall helfen soll.


Sollte es eine einfacher Lösungsweg geben, ist er herzlich wilkommen

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