Hey ;)
Fälle für n=1,2,3 von Hand überprüfen. Induktionsschritt für n >= 4 ist dann:
$$3^{n+1} = 3^n \cdot 3 \overset{\text{I.V.}}{\underset{\text{}}{ \ge }} n^3 \cdot 3 = n^3 + n^3 + n^3 $$
$$\ge n^3 + 3n^2 + 3n^2 \ge n^3 + 3n^2 + 3(2n) \ge n^3 + 3n^2 + 3(n+1)$$
$$= n^3 + 3n^2 + 3n + 3 \ge n^3 + 3n^2 + 3n + 1 = (n+1)^3 \ .$$
Dabei wurden folgende offensichtliche Ungleichungen verwendet:
$$ n^3 \ge 2n^2 \ , \quad für \quad n \ge 4$$
$$ n^2 \ge 2n \ge n+1 \ , \quad für \quad n \ge 4$$
Ich hoffe die offensichtlichen Ungleichungen sind klar? Bei der ersten einfach beide Seiten durch n2 teilen und bei der zweiten erst durch n teilen und dann minus n rechnen.
