Flächeninhalt des Graphen der Funktion

Question

Es geht um diese Funktion:

$$f_{2}: \left\{(x,y) \in  \mathbb R | x \geq 0, y \geq 0, x+y \leq 1 \right\} → \mathbb R , (x,y) → \frac{y^2}{2}$$

Ich habe schon eine ähnliche Frage gestellt (Flächeninhalt der Mehrdimensionalen Funktion) und weiß nun ungefähr wie das geht, aber sind meine Grenzen richtig?

x von 0 bis 1 und y von 0 bis -x+1?

wie sieht denn hier das integral aus?

Answer 1

deine Grenzen sind richtig. Damit ist

A=Integral dA

dA=√(1+y^2)dxdy

$$A=\int_{0}^{1}dx(\int_{0}^{1-x}\sqrt{1+y^2}dy)$$

nach Fubini.

Das innere Integral löst du per Substitution (z.B y=sinh(t))

Comments

kommst du auch auf 1/24?

mfg

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Nein, ganz sicher nicht.

Die Fläche des dreieckigen Gebiets, über die integriert wird, ist schon 1/2,da ist die Fläche der Kurve f(x,y)=y^2/2 auf jeden Fall größer aufgrund deren Krümmung

(Skizze!)

Ich komme auf

$$A=\frac{3arsinh(1)-\sqrt{2}+2}{6}\approx 0.538$$

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das war ein schwieriges integral aber mit wolfram kommt auch 0.538 raus...

https://www.wolframalpha.com/input/?i=int%5Bsqrt(1%2By%5E2),%7Bx,0,1%7D,%7By,0,x-1%7D%5D

ich nehm dann dieses ergebnis.

vielen dank

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In der einen Grenze muss (1-x) stehen, sonst kommt das - bei der Fläche raus.

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das ist aber ziemlich kompliziert... vorallem arcsinh xD... ist das sicher richtig? mfg

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vielleicht doch so?

mfg

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Sorry, Hab meine Lösung gelöscht. Meine Lösung wäre das Volumen einer mehrdimensionalen Funktion. Hatte das jetzt erst wegen der gleichen Fragen gesehen, dass es um die Oberfläche geht.

die Berandungsfunktion ist

f(x,y) = y^2 / 2

und damit ist

(f'(x,y))^2 = y^2

Damit ist dann das mehrdimensionale Integral aufzustellen. Damit kommt man auf das Integral von Gast jc2144.