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Aufgabe:  Drei kongruente Rechtecke der Breite 2b und der Länge 2a werden so ineinandergeschoben, wie die Abbildung unten links zeigt. Benachbarte Ecken der Rechtecke werden miteinander verbunden, sodass das Kantenmodell eines Ikosaeders (regelmäßiger Körper mit 20 kongruenten Seitenflächen; rechtes Bild) entsteht. 
Zeige, dass in diesem Falle jedes der drei Rechtecke ein goldenes Rechteck ist.
blob.png

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Hallo Roland,

in der folgenden Zeichnung habe ich zwei der drei Rechtecke und eines der Dreiecke des Ikosaeders skizziert:

Skizze5.png

(klick auf das Bild zum Geoknecht3D)

Die Seitenlängen der Rechtecke betrage jeweils \(2a \times 2b\). Das Dreieck \(\triangle PBQ\) ist eine der Flächen des Ikosaeders. Die Strecke \(h=|MB|\) ist die Höhe in diesem Dreieck. Lt. Pythagoras gilt im rechtwinkligen Dreieck \(\triangle BMX\): $$h^2 = |MB|^2= |MX|^2 + |XB|^2 = (a-b)^2 + a^2 = 2a^2-2ab + b^2$$ Wenn der Körper ein Ikosaeder ist, so ist das Dreieck \(\triangle BMX\) ein gleichseitiges und die Höhe \(h\) im gleichseitigen Dreieck ist$$h = \frac 12 |PQ| \sqrt{3} = \frac 12 (2b) \sqrt 3 = b \sqrt 3$$ Einsetzen in vorherige Gleichung liefert: $$\begin{align} 2a^2 - 2ab + b^2 &= h^2 = 3b^2 \\ 2a^2 -2ab - 2b^2&= 0 \\ a^2 -ab - b^2&= 0 && \left| \div b^2\right.\\ \left( \frac ab \right)^2 - \left( \frac ab \right) - 1 &= 0 \end{align}$$ was bereits die bekannte quadratische Gleichung für das goldene Verhältnis \(\phi\) ist. Wie das Auflösen zeigt: $$\left( \frac ab \right) _{1,2} = \frac 12 \pm \sqrt{ \frac 14 + 1 } = \frac 12(1 \pm \sqrt 5)$$ ich hatte implizit angenommen, dass \(a \gt b\), dann bleibt: $$\frac ab = \frac12 (1+\sqrt 5) = \phi \quad \text{q.e.d}$$

Gruß Werner

von 16 k

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