Trigonometrische Gleichungen lösen: sin(x) = -1/2...

Question

Löse die Gleichungen.

a. \( \sin (x)=-\frac{1}{2} \)
b. \( \cos (2 x)=0 \)
c. \( \cos (x)=\frac{1}{2} \)
d. \( \sin (3 x)=\frac{\sqrt{2}}{2} \)
e. \( \sin (x)+\cos ^{2}(x)=-1 \)

Answer 1

Hi,

a)

x₁ = 7π/6 + 2πn

x₂ = 11π/6 + 2πn

 

b)

x₁ = π/4 + πn/2

 

c)

x₁ = -π/3 + 2πn

x₂ = π/3 + 2πn

 

d)

x₁ = π/12 + 3/4πn

x₂ = 3π/12 + 3/4πn

 

e)

sin(x)+cos(x)^2 = -1

trigonometrischer Pythagoras

-sin(x)^2+sin(x)+2 = 0

Faktorisieren:

(sin(x)-2)(1+sin(x)) = 0

Ersterer Faktor kann nicht 0 ergeben, da die maximale Amplitude 1 (bzw. -1 ist).

1+sin(x) = 0

sin(x) = -1

 

x₁ = 3π/2+2πn

 

Grüße

Comments

Und wie kommt man auf die Ergebnisse?

Ich weiss zum Beispiel nicht wie ich bei der Aufgabe

3cos((π/4)/x)=0 im Intervall (-π;π)

auf die Lösung ±2 komme..

Kann mir das jemand erklären? :/

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Führe das Problem auf bekanntes zurück (Du wirst übrigens 3cos((π/4)*x)=0 meinen.

3cos((π/4)*x)=0   I:3

cos((π/4)*x)=0

Du weißt, dass der Kosinus cos(x) = 0 ist für π/2.

Es muss nun also π/4*x = π/2 sein: 

1/2x = 1

x = 2

 

Nun die Periode  berücksichtigt und es ergibt sich auch für x = -2 als Lösung.

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Achso, ok.

Aber kann man auch substituieren?

Also statt cos((π/4)*x)=0

                      z=(π/4)x

                     cos(z)=0

Und dann irgendwie weitermachen?

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Das ist genau das von mir vorgeschlagene ;).

Führe das Problem auf bekanntes zurück

-> Nämlich cos(z) = 0

 

Du weißt, dass der Kosinus cos(x) = 0 ist für π/2.

Es muss nun also π/4*x = π/2 sein:

Was letztlich genau die Substitution ist ;).

---

Gerne ;)        .