Parameterabhängige Gleichungssysteme

Question

Aufgabe:Gegeben sei das folgende lineare parameterabhängige Gleichungssystem:

Für welche Werte der Parameter α, β ∈ R hat das Gleichungssystem keine, genau eine
bzw. unendlich viele Lösungen? Wie groß sind jeweils Rang der Koeffizientenmatrix und
der Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix?

Problem/Ansatz:

2x1 − x2 + 4x3 = 4
3x1 + αx2 + 6x3 = β

Answer 1

2x₁ − x₂ + 4x₃ = 4  |:2
3x₁ + αx₂ + 6x₃ = β |:3

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x₁-1/2x₂+2x₃=2

x₁+α/3x₂+2x₃=ß/3

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Für -1/2=α/3  und 2=ß/3 oder α=-3/2 und β=6 sind beide Gleichungen identisch. Dann gibt es unendlich viele Lösungen.

Im übrigen hat ein System von zwei verschiedenen Gleichungen mit 3 Unbekannten meistens unendlich viele Lösungen.