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AC sei der Durchmesser eines Halbkreises K1 mit dem Radius 3. B liege auf AC. AB sei der Durchmesser eines Halbkreises K2 mit dem Radius 2. BC sei der Durchmesser eines Halbkreises K3 mit dem Radius 1. Scheidet man aus K1 die Halbkreise K2 und K3 heraus, bleibt eine Form stehen, die man als Schustermesser bezeichnet.  Welchen Radius hat der größte Kreis (dunkelgrau), den man aus einem Schustermesser heraus schneiden kann? Welchen Radius hat der zweitgrößte Kreis (hellgrau), den man dann aus einem Schustermesser heraus schneiden kann?

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von 59 k

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Hallo Roland,

zur Berechnung der gewünschten Radien gibt es eine sehr schöne Möglichkeit, die ich Simon Pampena abgeschaut habe. O-Ton: "there's one way to solve this problem. It is absolute amazing".


Obiges Problem ist etwas einfacher, aber das Verfahren ist das gleiche. Zunächst zieht man um \(A\) eine Kreis (grün), mit dem Radius \(R=|AB|\). Anschließend invertiert man alle Kreise an diesem neuen Kreis. Man erhält dann zwei Geraden, für die Kreise \(K_1\) und \(K_2\) und drei gleichgroße Kreise für die kleineren.

Skizze5.png

Wird ein Kreis mit dem Radius \(r\) an einem anderen mit dem Radius \(R\) invertiert und haben beide Mittelpunkte den Abstand \(x\), so ist der Radius \(r'\) des invertierten Kreises: $$r' = \frac{rR^2}{x^2-r^2}$$ Oben im Bild ist auf Grund der Inversion $$|AC'| \cdot |AC| = R^2 \implies |AC'| = \frac{R^2}{|AC|} = \frac{4^2}{6} = \frac 83$$ und weiter gilt $$|AM_3'| = \frac 12 \left( |AC'| + |AB| \right) = \frac 12 \left(\frac 83 + 4 \right) = \frac {10}3 \\ r'= |M_3'B| = |AB| - |AM_3'| = 4 - \frac{10}3 = \frac 23$$ damit liegt der Radius \(r'\) der drei invertierten Kreise bereits fest, Es muss nur noch der Abstand des jeweiligen Mittelpunkts von \(A\) berechnet werden. Für den roten Kreis mit Radius \(r_4\) gilt $$x_4'^2 = |AM_4'|^2 = |AM_3'|^2 + (2r')^2 = \frac{100}9 + \frac{16}9= \frac {116}{9} \\ \implies r_4 = \frac {r' R^2}{x_4'^2 - r'^2} = \frac{\frac 23 \cdot 4^2}{\frac {116}9 - \frac 49} = \frac 67$$ und für den gelben Kreis mit Radius \(r_5\) gilt $$x_5'^2 = |AM_5'|^2 = |AM_3'|^2 + (4r')^2 = \frac{100}9 + \frac{64}9= \frac {164}{9} \\ \implies r_5 = \frac {r' R^2}{x_5'^2 - r'^2} = \frac{\frac 23 \cdot 4^2}{\frac {164}9 - \frac 49} = \frac 35$$ Somit hat der erste Kreis im Schustermesser den Radius \(6/7\), der zweite den Radius \(3/5\) und der \(n\)'te hat den Radius $$r_n = \frac{6}{6+n^2}$$ Gruß Werner

von 18 k
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Es will wohl keiner?

Hier ist die Skizze zur Aufgabe:Unbenannt.png

von

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