Erwartungswert einer geometrisch verteilten Zufallsvariablen

Question

Wie errechne ich den Erwartungswert einer geometrisch verteilten Zufallsvariablen von

$$\sum _{ k=0 }^{ \infty  }{ { x }^{ k }  } =\frac { 1 }{ 1-x }$$

Summe (von k=0 bis unendlich) über x^k = 1/(1-x)

Answer 1

wir leiten schrittweise den Erwartungswert für eine geometrisch verteilte Zufallsvariable her. Sei also \(X\sim Geo(p)\) und \(x=q=1-p\). Der Erwartungswert für \(X\) entspricht quasi der durchschnittlichen Wartezeit auf den ersten Treffer bei einem unendlich oft wiederholten Bernoulli-Experiment mit der Trefferwahrscheinlichkeit \(p\). Es ist $$E(X)=\sum_{k=1}^{\infty}{k\cdot P(X=k)}=\sum_{k=1}^{\infty}{k\cdot p\cdot (1-p)^{k-1}}=p\cdot\sum_{k=1}^{\infty}{k\cdot q^{k-1}}$$ Den Grenzwert der Summe können wir nun wie folgt berechnen: $$\sum_{k=1}^{\infty}{k\cdot q^{k-1}}=\left(\sum_{k=1}^{\infty}{q^k}\right)'=\left(\sum_{k=0}^{\infty}{q^k}\right)'=\dfrac{1}{(1-q)^2}$$ Mit der allgemeinen Definition des Erwartungswertes folgt: $$p\cdot \dfrac{1}{(1-q)^2}=p\cdot\dfrac{1}{p^2}=\dfrac{1}{p}$$

André