Berechne f(v) für Vektoren (lineare Abbildung)

Question

Aufgabe:

Die lineare Abbildung f : ℝ³ → ℝ⁴ sei durch

A = \( \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & -2 \end{pmatrix} \)

definiert.

Berechnen Sie f(v) für die Vektoren:

v ∈ { \( \begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix} \) , \( \begin{pmatrix} 1\\-1\\2 \end{pmatrix} \) , \( \begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix} \) }

Problem/Ansatz:

Durch "irgendwas" ist doch diese Matrix (ℝ⁴) entstanden. Sollen wir dieses "irgendwas" ausrechnen? Ich nehme mal an mit Hilfe der Vektoren. Wir sollen also f(v) für die Vektoren ausrechnen. Was muss ich hier genau machen bzw. wie heißt die Operation, die ich machen muss?

Comments

Was ist die Zuordnungsvorschrift von f?

f(v):= A * v + b wobei b der Nullvektor ist?

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b muss der Nullvektor sein, sonst wäre die Abbildung nicht linear.

Aber ja, es ist einfach f(v)=Av. Man muss also nur die Vektoren mit der Matrix multiplizieren.

Answer 1

Vektor mal Matrix gibt einen Vektor mit 4 Komponenten, für

den ersten sähe das so aus:

1*1+2*0+(-1)*1

2*1  -1*0  + 1*1

1*1  -1*0  + 0*1

3*1  +0*0  -2*1 also ist das Ergebnis der Vektor

0
3
1
1

etc.

Comments

Danke für deine Hilfe. Habe alle berechnet und folgendes raus:

v1: (0 3 1 1) → hier hast du dich verrechnet

v2: (-3 5 0 -1)

v3: (2 3 3 -3)

Wars das? Muss ich da jetzt noch was machen?

Danke.

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Achja, was ich noch wissen wollte. Dieses ℝ³ und ℝ⁴ usw. bezieht sich das auf den Vektor was am Ende rauskommt? Also der Vektorraum? Oder benutzt man diese Darstellung auch für den Raum für Matrizen?

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Ne, das war es. Den Rechenfehler korrigiere ich oben

für spätere Leser.

Das R^n bezieht sich immer auf Vektoren. Das n gibt die

Anzahl der Komponenten an.