Eigenwerte in Abhängigkeit von t?

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie die Eigenwerte der Matrix in Abhänigkeit von t.$$A : = \left( \begin{array} { c c c } { 4 } & { 0 } & { t } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { - 1 } & { 0 } & { 2 } \end{array} \right)$$
Problem/Ansatz:

Bisher ist es mir gelungen den ersten Eigenwert zu errechnen, wie aber bekomme ich nun die weiteren Eigenwerte, ohne die Klammer auszumultiplizieren oder sonstiges? Dankeschön.

Answer 1

es gilt \(\chi_A(\lambda)=\det(\lambda E-A)\). Also:$$\Longleftrightarrow \chi_A(\lambda)= \begin{vmatrix} \lambda-4 & 0 & -t \\ 0 &\lambda-1 & 0 \\ 1&0&\lambda-2 \end{vmatrix}$$ Nun löst Du mit der Regel von Sarrus auf und erhältst:$$\chi_A(\lambda)=-t x + t + x^3 - 7 x^2 + 14 x - 8$$ Es ist übrigens effektiverm nach der zweiten Zeile mit dem Laplaceschen Entwicklungssatz zu entwicklen. Du hast dann auch sofort die faktorisierte Form, willst Du wissen, wie das geht?

Comments

Wäre dir sehr dankbar

---

Die Nullen fallen weg, weil \(0\cdot \text{Irgendwas}=0\). Man wählt nun ein Element auf der ausgewählten Zeile oder Spalte aus und streicht die Zeile und Spalte, auf der das jeweilige Element liegt, (gedanklich) durch.

Wir haben also nur \(\lambda-1\) als Vorfaktor der um eine Dimension reduzierte Determinante:$$\chi_A(\lambda)=(\lambda-1)\cdot\underbrace{\begin{vmatrix} \lambda-4 & -t \\ 1& \lambda-2 \end{vmatrix}}_{= (t + x^2 - 6 x + 8)}$$$$\chi_A(\lambda)=(\lambda-1)\cdot (t + x^2 - 6 x + 8)$$

---

Ach, ich verstehe. Wie bei 4x4 Matrizen, klar.
ach und dann berechne ich vom zweiten Polynom die Nullstellen und bekomm somit die restlichen Eigenwerte in Abhängikeit von t?

---

Löse \(x^2-6x+(8+t)\) mit der pq-Formel. Also \(p=-6\) und \(q=8+t\)

---

Ahhhj , vielen , vielen Dank!

---

Gern geschehen!