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Hallo zusammen.

Ich brauche eure Hilfe bei der Aufgabe 16. Ich verstehe nicht wie ich hier auf den Winkel μ kommen soll nur mit Planimetrie.

Ich habe es mit dem Zentri- sowie dem Peripheriewinkel probiert.

Es soll ohne sinus, cosinus etc. gearbeitet werden.

Im Voraus schon vielen Dank.IMG_20190315_142145.jpg

von

\(\mu = 90° - \frac 12 \alpha\)  ich erkläre Dir heute Abend warum das so ist. Falls es kein anderer macht ;-)

Irgendwas über gleiche Längen oder so bekannt ?

1 Antwort

+2 Daumen

Hallo Pascal,

Es wird klarer, wenn man vom Mittelpunkt \(Z\) des Kreises die Lote auf die drei eingezeichneten Geraden (blau) fällt.

Skizze2.png

Es entstehen die Fußpunkte \(D\), \(E\) und \(F\). Die Vierecke \(BEZD\) und \(ZFCD\) sind Drachenvierecke mit rechten Winkeln (Lote) an den 'Ohren'. Da die Winkelsumme im Viereck \(=360°\) beträgt und die Ohren rechte Winkel sind, muss die Summe der gegenüber liegenden Winkel \(\angle EBD\) und \(\angle DZE\) (blau bei \(Z\)) gleich \(180°\) sein. Die Summe der Winkel \(\angle DCF\) und \(\angle FZD\) (grün bei \(Z\)) ist ebenso \(180°\).

Genauso ist die Summe der Nebenwinkel im Punkt \(B\) - also \(\beta = \angle CBA\) (blau bei \(B\)) und \(\angle EBD\) gleich \(180°\). Gleiches gilt für die Nebenwinkel bei \(C\). Daraus folgt, dass $$\begin{align}\angle DZE &= \angle CBA = \beta && \text{blau}\\ \angle FZD &= \angle ACB = \gamma && \text{grün}\end{align}$$Nun ist aber eine der Diagonalen im Drachenviereck auch gleichzeitig die Winkelhalbierende (rot). Daraus folgt, dass $$\begin{align} \mu &= \angle CZB = \frac 12 \angle DZE + \frac 12 \angle FZD \\ &= \frac 12 (\beta + \gamma) && \left|\, \alpha + \beta + \gamma = 180° \right. \\ &= \frac 12 (180° - \alpha) \\ & = 90° - \frac {\alpha}2\end{align} $$

Eine Alternative:

Schneiden sich zwei Geraden, so stehen die Winkelhalbierenden der Nebenwinkel senkrecht auf einander.

Skizze4.png

Im obigen Bild sind alle gelben und roten Geraden Winkelhalbierende. Die markierten Dreiecke (grün und violett) sind rechtwinklige. Daraus folgt, dass die beiden hellblauen Winkel und die beiden roten Winkel jeweils paarweise gleich sind. Aus der Summe des hellblauen und roten Winkels folgt dann $$\mu = \frac 12 \beta + \frac 12 \gamma = 90 - \frac {\alpha}2$$ Gruß Werner

von 18 k

Geometrie ist ein interessantes Gebiet, weil es bei den scheinbar einfachsten Figuren immer noch was zu entdecken gibt.

Skizze4.png
Der Mittelpunkt \(M_b\) des Kreises (grün) durch die Punkte \(A\), \(Z\) und \(C\) liegt auf der Geraden durch  \(BZ\) (w.z.b.w.)! Legt man in \(Z\) die Tangente (grün) an diesen Kreis, so kann man direkt ablesen, dass $$\mu = 90° - \frac {\alpha}2$$(s. Sehnentangentenwinkelsatz)

w.z.b.w. soll hier "was zu beweisen wäre" heißen. Kennt jemand einen Beweis?

Gruß Werner

Kennt jemand einen Beweis?

Heureka! ich hab's gefunden. Der Winkel \(\mu\) ist blau und \(\alpha/2\) orange markiert:

Untitled5.png

Man betrachte die Mittelpunkte \(X\), \(Y\) und \(Z\) der Ankreise am Dreieck \(\triangle ABC\). Dann ist der Kreis (grün) um den Mittelpunkt \(M_b\) der Strecke \(YZ\) ein Thaleskreis, auf dem die Punkte \(A\), \(C\) und \(Z\) liegen. Legt man die Tangente (grün) in \(Z\) an den Kreis, so lässt sich wegen dem Sehnentangentenwinkelsatz unmittelbar ablesen, dass $$\mu = 90° - \frac {\alpha}2$$Bem.: der Umkreis von \(\triangle ABC\) ist der Feuerbachkreis von \(\triangle XYZ\).

@Pascal: präsentiere doch bitte diesen Beweis Deinem Lehrer und schildere uns hier seine Reaktion.

Ich würde mich freuen, von Dir zu lesen!

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