ein Integral vereinfachen

Question

Hi 

ich muss eine Oberfläche integrieren und kam auf 
$\int\limits_{0}^{2π}$ $\int\limits_{0}^{R}$ (-2r³sin²(Θ))(r²cos²(Θ)-r²sin²(Θ)) drdΘ
kann mir jemand bei der Vereinfachung helfen ? und mir sagen wie er vorging ? sicher kann man noch vereinfachen und nicht jetzt integrieren aber ich komme nicht drauf !

Dankeee

Answer 1

Du kannst das Integral durch ausklammern von $r$ so zerlegen, dass die Intergrationen nach $r$ und $\Theta$ undabhängig ausgeführt werden können. Dann noch ein paar trigonometrische Formeln anwenden und Du bekommst als Ergebnis $$\frac{\pi}{6} R^6$$

Answer 2

$$\int\limits_{0}^{2π} \int\limits_{0}^{R} (-2r^{3}sin^{2}(Θ))(r^{2}cos^{2}(Θ)-r^{2}sin^{2}(Θ)) drdΘ$$

Erst mal die 2. Klammer betrachten  :

$$r^{2}cos^{2}(Θ)-r^{2}sin^{2}(Θ)$$

$$= r^{2}(cos^{2}(Θ)-sin^{2}(Θ))$$

$$= r^{2}(2cos^{2}(Θ)-1)$$

Also hat man:

$$\int\limits_{0}^{2π} \int\limits_{0}^{R} (-2r^{3}sin^{2}(Θ)) r^{2}(2cos^{2}(Θ)-1) drdΘ$$

$$=\int\limits_{0}^{2π} \int\limits_{0}^{R} (-2r^{5}sin^{2}(Θ))(2cos^{2}(Θ)-1) drdΘ$$

und das innere Integral ist dann ja einfach und es bleibt:

$$=\int\limits_{0}^{2π} \frac{ -R^{6}sin^{2}(Θ)(2cos^{2}(Θ)-1)}{3} dΘ$$

$$=\frac{ -R^{6}}{3} \int\limits_{0}^{2π} sin^{2}(Θ)(2cos^{2}(Θ)-1) dΘ$$

Und jetzt kommt es ja drauf an, was du so

benutzen darfst  Wenn du z.B. ein Ergebnis

für das Integral über sin²(x)cos²(x) schon kennst, ist es ja nicht mehr

so wild.