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Aufgabe:

In einem Naturschutzgebiet gibt es Teile, die mit Wiese, Gestrumpf und Sumpf bedeckt sind. Jährlich geht ein Teil des Wiesenlandes in Gestrüpp über, Sumpf wird zur Wiese usw. Die Tabelle zeigt die jährlichen Übergangswahrscheinlichkeiten.

Matrix:
von             W    G     S
nach     W   0,7  0,2   0,2
             G   0,2  0,8   0,0
             S   0,1   0,0   0,8

Problem:

Im folgenden die Aufgabenstellungen bzw. meine Ansätze. Bei Aufgabe a bitte nur ein mal schauen, ob das so passt. Dann brauche ich Hilfe bei Aufgabe d (dafür auch einmal Aufgabenstellung "b" schauen).


a) Begründen Sie: Die Übergangsmatrix M ist eine stochastische Matrix.

Da habe ich jetzt:

Die Elemente der Matrix liegen zwischen Null und Eins und die Spaltensummen betragen Eins. Somit ist die Übergangsmatrix M eine quadratische bzw. stochastische Matrix.

Passt das so?

b) Die Startanteile lauten W:60%,G30%,S:10% [...] → wichtig für Aufgabe d.

d) Durch Mähen der Wiesen wird der Übergang zu Gestrüpp auf 10% verringert.
Durch Bewässerungsmaßnahmen wird das Umwandeln des Sumpfes in Wiese ebenfalls auf 10% verringert.
Wie entwickelt sich das Gebiet nun nach fünf bzw. nach zehn Jahren bzw. langfristig?
Interpretieren Sie das Ergebnis anschaulich.

Hier habe ich nun die Übergänge zu folgender Matrix verändert:

von            W    G    S
nach    W  0,8  0,2  01
            G  0,1  0,8  0,0
            S  0,1 0,0  0,9

(die alte im Vergleich:

von            W    G    S
nach    W  0,7  0,2  0,2
            G  0,2  0,8  0,0
            S  0,1  0,0  0,8  )

Jetzt muss ich ja die "neue" Matrix mal die Startanteile nehmen, richtig?

Und dann für Jahr 3, die Matrix mal die Anteile von Jahr 2 rechnen etc.

Aber statt das ganze jetzt zehn Mal zu machen, kann ich da auch etwas exponentiell berechnen?


Ich danke im Voraus :)

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Die Elemente der Matrix liegen zwischen Null und Eins und die Spaltensummen betragen Eins. Somit ist die Übergangsmatrix M eine quadratische bzw. stochastische Matrix.

Vorschlag: Die Matrix ist quadratisch, ihre Elemente liegen im Intervall [0;1] und die Spaltensummen betragen jeweils 1. Daher ist die Matrix stochastisch.

(Außerhalb der Schulmathematik heißt das dann oft spaltenstochastisch.)

Avatar von 26 k

zu d)

Jetzt muss ich ja die "neue" Matrix mal die Startanteile nehmen, richtig?

Ja.

Und dann für Jahr 3, die Matrix mal die Anteile von Jahr 2 rechnen etc.

Ja, oder

Aber statt das ganze jetzt zehn Mal zu machen, kann ich da auch etwas exponentiell berechnen?

du rechnest mit den entsprechenden Matrixpotenzen ("exponentiell" würde ich das nicht nennen). Dazu solltest du natürlich deinen GTR benutzen, der wird sowas ja können.

Vielen Dank!


Tatsächlich habe ich keinen GTR.

Ich habe noch den "alten" Casio fx-82DE Plus. Dann wäre also nur der "aufwendige" Weg möglich, oder?

Man kann das vielleicht ein wenig abkürzen, indem man passende Matrixpotenzen ausrechnet. Doch muss in jedem Fall ein großer Rechenaufwand betrieben werden.

Wo hast du die Aufgabe denn her? Und welche Schulform in welchem Bundesland besuchst du?

Okay, dann belasse ich es einfach erst mal dabei (und schaue es mir gegebenenfalls nachher noch mal an).

Ich gehe auf eine Fachoberschule in NRW (eben dort bzw. an meiner Schule zumindest, wurde der GTR noch nicht eingeführt, ist bei den meisten Aufgaben aber auch nicht nötig.)

Wir rechnen auch einige Aufgaben, die aus dem Vollabi-Bereich kommen, vermutlich wird das dann hier der Fall sein. Abgesehen davon, lerne ich aber auch ganz gerne Mathe...

An Gymnasien, Gesamtschulen und vergleichbaren Einrichtungen mit Abschluss Vollabitur in NRW ist ein GTR (seit 2017?) vorgeschrieben, ob dass für die Vollabiturzweige an den BOS inzwischen auch gilt, weiß ich nicht. Jedenfalls bedeutet das in der Konsequenz unter anderem, dass in den einschlägigen Lehrbüchern und auch in den zentral gestellten Prüfungsaufgaben der letzten beiden Jahre Aufgaben enthalten sind, die man nicht ohne GTR lösen möchte oder lösen kann. Diese Aufgabe gehört in meinen Augen auch dazu.

Immerhin lässt sich die langfristige Entwicklung auch ohne GTR untersuchen.

Ja, vermutlich wird dann eher nach einem kürzeren Zeitraum (von zwei Jahren o.s.) gefragt werden bzw. nach einer längerfristigen Enwicklung...

Die Prüfungsaufgaben sind auch nicht extern gestellt, wie beim "normalen Vollabitur".

Ich danke auf jeden Fall für die Hilfe! :)

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