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Aufgabe:

Alex stellt drei unterschiedlich große Räder nebeneinander, die so zusammenpassen, wie auf dem Bild. Der Radius des größten Rades beträgt 16 cm und der Radius des mittleren Rades 9 cm. Wie groß ist der Radius des kleinsten Rades?

blob.png

von

5 Antworten

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Beste Antwort

Der Radius beträgt \(\dfrac{1}{\sqrt{16}}+\dfrac{1}{\sqrt{9}}=\dfrac{1}{\sqrt{r}}\Longleftrightarrow r=\dfrac{144}{49}\approx 2.94[\textrm{cm}]\).

von 13 k

Kannst du mir deinen Lösungsweg vielleicht erklären?


Und noch eine Frage: Würde das auch funktionieren, wenn die Räder gleichseitige Sechsecke wären?

wenn die Räder gleichseitige Sechsecke wären?

Dann wäre die Antwort 3

Kannst du mir hier deinen Lösungsweg auch vielleicht schildern?

Unbenannt-5.png


Edit: die obere grüne Kathete muss die Länge 14√R und nicht 16√R haben.

Larry wie und womit hast du das gezeichnet?

Mit Illustrator.

Weißt du auch, wie das mit GeoGebra geht? Also auf eine andere Art als die Lösung vom wächter?

Sicherlich, man müsste dann mit Strecken arbeiten und es setzt voraus, dass du den Radius des kleinen Kreises bereits kennst.

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Kannst du mir deinen Lösungsweg vielleicht erklären?

Seltsam, dass du eine Antwort, die du nicht nachvollziehen kannst, gleich mal als beste Antwort titulierst...

Schau dir mal die Abbildung an:

Unbenannt.png

Wenn r der Radius des kleinsten Rades ist, dann gilt im blauen Dreieck

x²+(16-r)²=(16+r)²

Im roten Dreieck gilt  y²+(9-r)²=(9+r)².

Im grünen Dreieck gilt (x+y)²+(16-9)²=(16+9)².

Das sind drei Gleichungen und drei Unbekannte.

von 17 k

Hey, danke dir für deinen tollen Lösungsweg! Ich habe deine Antwort als die beste tituliert, weil ich das Ergebnis bereits weiß und an deinem Lösungsweg interessiert war und es noch bin :). Ich versuche verschiedene Ansätze zu finden, die zur richtigen Lösung führen.

Vielen Dank! :)

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Hallo yolo,

man kann das Problem auch graphisch (bzw. mit Zirkel und Lineal) anpacken. Der Trick besteht darin, die beiden Kreise (die großen Reifen) an einem dritte Kreis so zu spiegeln, dass die Bilder der Kreise zu Geraden werden. Die (Boden)gerade wird dann zwar zum Kreis, aber so muss man nur noch einen Kreis konstruieren, der zwischen zwei Geraden liegt und eine weiteren Kreis (das Spiegelbild des Bodens) berührt.

Jetzt habe ich das auch mit CindyJS hinbekommen:


Der violette und schwarze Kreis mit den Mittelpunkten \(M_1\) und \(M_2\) sind die Reifen(kreise), die auf der (Boden-)Geraden (grün) stehen. Der Mittelpunkt \(S\) des Spiegelkreises \(k_s\) (gelb) muss im Berührpunkt der beiden Reifenkreise liegen. Sein Radius ist nicht relevant. Die Spiegelung des violetten Kreises gibt die violette Gerade, die des schwarzen Kreises die schwarze Gerade.Die Bodengerade wird zum grünen Kreis. Nun ist es ein leichtes, den roten Kreis (Mittelpunkt \(M_3'\)) zu konstruieren, der nach Spiegelung an \(k_S\) (gelb)  den gesuchten Kreis ergibt.

Durch Ziehen am Punkt \(A\) kann man den Radius von \(k_s\) verändern. Der Ergebniskreis sollte sich dann nicht verändern. Durch Ziehen an \(M_1\) bzw. \(M_2\) verändert man die Radien der Reifenkreise.

von 27 k

Vielen Dank für deine Mühe, Werner-Salomon! Ich habe dir eine E-Mail geschrieben. Hast du sie erhalten?

Hast du sie erhalten?

Ja - Antwort ist unterwegs.

Eine Anleitung zur Einbindung von CindyJS gibt es hier:'https://www.mathelounge.de/597128'

Wie hast du M3' konstruiert?

Wie hast du M3' konstruiert?

\(M_3'\) liegt auf der Mittelparallelen der violette und schwarze parallele Geraden und ist vom Mittelpunkt des grünen Kreises genau so weit entfernt, wie der Abstand der beiden parallele Geraden.

Noch ein Hinweis: zeichnet man \(M_3'\) auf die andere Seite des grünen Kreises, so ist dies das Spiegelbild eines Kreises, der beide Radkreise und die Bodengerade von oben berührt.

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Nach dem Du GeoGebra nachgefragt hast.

blob.png

A=Mg,r1=rg, B=Mk,r2=rk, C=Mz,r3=rz

Die y-Koordinaten der Mittelpunkte sind die jeweiligen Radien der Kreise Mg, Mk, Mz.

blob.png

Der Radius aus Mz lässt sich weiter vereinfachen und führt letztendlich auf die Larry-Gleichung - eine schöne Lösung!

von 10 k

Was ist m1?...............

Hat sich erledigt! :-)

0 Daumen

Hallo ,

verbindet man die mitten der drei Räder miteinander entsteht ein rechtwinkliges Dreieck, dann gilt

(16+9)² = (16+x)² +( 9+x)²                      wobei x der Radius des kleinsten Rades sei

625 = 256+32x +x² +81+18x+x²           | zusammenfassen

0= 2x²+50x -288                                   | :2  und Lösungsformel anwenden

0= x²+25x -144

x1,2= -12,5 ±√(12,5²+144)

 x1,2= -12,5  ±       17,32   nur die positive Lösung nehmen

x≈4,83               Der gesuchte Radius ist ca 4,8cm

von 27 k

Das wäre zu groß.

Probe  durchführen, dann ist es wohl zu stark nach unten abgerundet, also eher zu klein.

.............blob.png

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