Beweis einer Ungleichung

Question

Aufgabe:

Es gilt zu Beweisen, dass (x² / y) + (y² / x) ≥ x + y

Ich habe schon hin und her umgeformt, aber irgendwie manifestiert sich die Lösung nicht vor meinem geistigen Auge. Wer kann helfen?



Patrick

Problem/Ansatz:

Comments

Die Ungleichung gilt nicht für x = -1, y = -2. Somit kann die Ungleichung wahrscheinlich nicht bewiesen werden.

Gibt es Einschränkungen im Definitionsbereich, die über das Offensichtliche (x ≠ 0, y ≠ 0) hinausgehen?

Answer 1

linke Seite auf Hauptnenner bringen:
(x³+y³)/(xy) >=x+y, linke Seite faktorisieren

(x+y)(x²-xy+y²)/(xy)>=x+y , kürzen

(x²-xy+y²)/(xy)>=1 |*xy

(x²-xy+y²)>=xy |-xy

(x²-2xy+y²)>=0 | binomische Formel

(x-y)²>=0

Comments

Ich denke, dass es den Punkt trifft...Das Ärgerliche daran ist, dass ich genauso angefangen habe, aber schon beim Faktorieren Mist gebaut habe. Vielen Dank nochmal.

Answer 2

          (x² / y) + (y² / x) ≥ x + y

<=>     (x² / y)   - y   ≥ x  - (y² / x)

<=>  y * (   (x² / y² )   - 1 )    ≥ x * ( 1  -  (y² / x² )  )

<=>  y * (   (x² - y² )  / y² )     ≥ x *  (   (x² - y² )  / y² )

<=>  (y -x )* (   (x² - y² )  / y² )     ≥  0

<=>  (y -x )* (x-y)*(x+y)  / y² )     ≥   0

Für y≠0 ( Das ist ja sicher vorausgesetzt.)

<=>  (y -x )* (x-y)*(x+y)     ≥   0

Und hier braucht man wohl noch ein paar Voraussetzungen über x und y.

Comments

Mea Culpa! Es gab natürlich eine Voraussetzung.....

da ist sie...:-)

x, y  ∈  R  mit  x, y  >  0

Sorry nochmal..:-)...

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Das ist ja etwas komisch:

Ich hatte  <=>  (y -x )* (x-y)*(x+y)     ≥   0

und dann ist ja x+y sicherlich auch > 0, aber dann bleibt

             (y -x )* (x-y)    ≥   0

und das ist entweder = 0 ( wäre ja OK) aber

für x≠y ist ja ein Faktor pos. und einer neg, das

Produkt also kleiner 0.

Schau mal, ob ich vielleicht irgendwo was

falsch umgeformt habe.