Geometrieaufgabe: Dreieck mit Inkreis und drei Linien: Zeige, dass MD×MF=ME^2

Question

Aufgabe:

Dreieck ABC. Mitte von Seite c ist M. D ist schnittpunkt der Winkelhalbiernden und c.E ist schnittpunkt vom Lot von c durch Mittelpunkt vom Inkreis. F ist der schnittpunkt von c mit der Höhe.  Zeige dass MD×MF=ME^2

roblem/Ansatz:

Comments

Ist das Dreieck beliebig oder bei C rechtwinklig?

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Die Frage bitte nicht beantworten: Es ist eine Umformulierung einer aktuellen Wettbewerbsaufgabe (Bundeswettbewerb Mathematik, 2. Runde, Einsendeschluss: 1. September 2019.)

edit: Siehe auch https://www.mathe-wettbewerbe.de/bwm/aufgaben/aufgaben-2019/aufgaben-19-2.pdf

Cyrix

Answer 1

Die Zeichnung zeigt den Weg über Höhensatz des Euklid:

Comments

Die Zeichnung zeigt den Weg über Höhensatz des Euklid:

... und wie kommst Du zu dem rechtwinklingem Dreieck \(\triangle LFH\), bei dem zufällig \(HM \perp c\) und \(|HM| = |ME|\) ist?

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HM =ME, weil ME als Grundseite eines  Quadrates (wegen ME^2) ist. Beim Euklidischen Dreieck ist nun H der Eckpunkt eines rechtwinkligen Dreiecks. Ich habe dann das gelbe Rechteck an der Seite MJ gespiegelt und erhalte das grüne Rechteck. Somit ist L ein Eckpunkt eines rechtwinkligen Dreiecks. F ist der 3. Eckpunkt.

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... F ist der 3. Eckpunkt.

habe Deine Beschreibung nachvollzogen.

Die zweite Kathete geht aber nicht durch F!

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Das kann ich mir jetzt nicht erklären.

Lösungen, die mir viel zu hoch sind:

https://www.mathe-wettbewerbe.de/fileadmin/Mathe-Wettbewerbe/Bundeswettbewerb_Mathematik/Dokumente/Aufgaben_und_Loesungen_BWM/loes_19_2_e.pdf

Vielleicht gilt meine Lösung auch nur für bestimmte Dreiecke.