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Aufgabe: Beweise folgendes:

a) Es sei n ungerade. Ist $$A \in\mathbb{R}^{nxn}$$, schiefsymmetrisch, so ist mindestens ein Eigenwert von A gleich null.


b) Für jede schiefsymmetrische Matrix $$A \in \mathbb{R}^{nxn}$$ mit Eigenwerten $$λ_{1},....,λ_{r}$$ und den zugehörtigen algebraischen Vielfachheiten $$κ_{1},....,κ_{r}$$ gilt: $$\sum \limits_{i=1}^{r} κ_{i}λ_{i}=0$$

von

Tipp zu (a): det(A) = det(AT) = det(-A) =  (-1)n·det(A).

Ich verstehe leider nicht wie mir dieser Tipp weiter helfen kann. Es sagt doch nur aus das det(A)=0 ist. In wie fern hilft mir das bei meinem Beweis zu (a).

Wenn det(A)=0 ist, dann ist A singulär. D.h. die Gleichung A·v=0 hat eine nichttriviale Lösung. Also ist Null ein Eigenwert.

Danke dir (a) habe ich jetzt verstanden.

Gibt es Ansätze für b.) und c.)?

Jeder Eigenwert von A ist rein imaginär oder gleich Null.

1 Antwort

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Aloha :)

(a) wurde bereits in den Kommentaren geklärt. Hier ein Vorschlag für (b):

Das charakteristische Polynom \(p(\lambda)\) einer quadratischen \(n\times n\)-Matrix \(A=(a_{ik})\) hat nach dem Entwicklungssatz immer die Form \(p(\lambda)=\lambda^{n}-(a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{nn})\lambda^{n-1}+\cdots\). Die Punkte sind irgendwelche Terme mit Potenzen von \(\lambda^{n-2}\) bis runter zu \(\lambda^0\). Wenn \(\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n\in\mathbb{C}\) die (eventuell mehrfach vorkommenden) komplexen Eigenwerte von \(A\) sind, hat \(p(\lambda)\) diese Eigenwerte als Nullstellen, d.h. \(p(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)\cdot(\lambda-\lambda_2)\cdots(\lambda-\lambda_n)\) bzw. \(p(\lambda)=\lambda^n-(\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_n)\lambda^{n-1}+\cdots\). Vergleicht man die beiden Darstellungen von \(p(\lambda)\), kann man ablesen:

$$\mbox{Spur}(A)=a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{nn}=\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_n$$

Das gilt nach Herleitung für alle quadratischen Matrizen. Hier ist \(A\in\mathbb{R}^{n\times n}\) konkret eine schiefsymmetrische Matrix, d.h. \(A^T=-A\). Insbesondere gilt also für die Diagonalelemente \(a_{ii}=-a_{ii}\), sodass \(a_{ii}=0\) sein muss. Damit ist \(\mbox{Spur}(A)=0\) und die Summe aller Eigenwerte ist ebenfalls gleich \(0\).

von 11 k

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