Beweise zu schiefsymmetrischen Matrizen

Question

Aufgabe: Beweise folgendes:

a) Es sei n ungerade. Ist $$A \in\mathbb{R}^{nxn}$$, schiefsymmetrisch, so ist mindestens ein Eigenwert von A gleich null.

b) Für jede schiefsymmetrische Matrix $$A \in \mathbb{R}^{nxn}$$ mit Eigenwerten $$λ_{1},....,λ_{r}$$ und den zugehörtigen algebraischen Vielfachheiten $$κ_{1},....,κ_{r}$$ gilt: $$\sum \limits_{i=1}^{r} κ_{i}λ_{i}=0$$

Comments

Tipp zu (a): det(A) = det(A^T) = det(-A) =  (-1)ⁿ·det(A).

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Ich verstehe leider nicht wie mir dieser Tipp weiter helfen kann. Es sagt doch nur aus das det(A)=0 ist. In wie fern hilft mir das bei meinem Beweis zu (a).

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Wenn det(A)=0 ist, dann ist A singulär. D.h. die Gleichung A·v=0 hat eine nichttriviale Lösung. Also ist Null ein Eigenwert.

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Danke dir (a) habe ich jetzt verstanden.

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Gibt es Ansätze für b.) und c.)?

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Jeder Eigenwert von A ist rein imaginär oder gleich Null.

Answer 1

Aloha :)

(a) wurde bereits in den Kommentaren geklärt. Hier ein Vorschlag für (b):

Das charakteristische Polynom $p(\lambda)$ einer quadratischen $n\times n$-Matrix $A=(a_{ik})$ hat nach dem Entwicklungssatz immer die Form $p(\lambda)=\lambda^{n}-(a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{nn})\lambda^{n-1}+\cdots$. Die Punkte sind irgendwelche Terme mit Potenzen von $\lambda^{n-2}$ bis runter zu $\lambda^0$. Wenn $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n\in\mathbb{C}$ die (eventuell mehrfach vorkommenden) komplexen Eigenwerte von $A$ sind, hat $p(\lambda)$ diese Eigenwerte als Nullstellen, d.h. $p(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)\cdot(\lambda-\lambda_2)\cdots(\lambda-\lambda_n)$ bzw. $p(\lambda)=\lambda^n-(\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_n)\lambda^{n-1}+\cdots$. Vergleicht man die beiden Darstellungen von $p(\lambda)$, kann man ablesen:

$$\text{Spur}(A)=a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{nn}=\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_n$$

Das gilt nach Herleitung für alle quadratischen Matrizen. Hier ist $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ konkret eine schiefsymmetrische Matrix, d.h. $A^T=-A$. Insbesondere gilt also für die Diagonalelemente $a_{ii}=-a_{ii}$, sodass $a_{ii}=0$ sein muss. Damit ist $\text{Spur}(A)=0$ und die Summe aller Eigenwerte ist ebenfalls gleich $0$.