Transformation von Matrizen und ihre Inversen

Question

Die Aufgabe ist es, α β γ δ von den reellen Zahlen zu bestimmen, so dass die Matrix E Element von L(3) ist. Und anschließend sollen die Matrizen der zugehörigen inversen Lorentz-Transformationen angegeben werden.

Ich kenne/weiß folgendes:

$$E^T\eta E =\eta,$$

wobei gilt $$\eta=\begin{bmatrix}    -1       & 0 & 0 \\    0       & 1 & 0 \\    0       & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

Ebenso  $$E=\begin{bmatrix}    \alpha      & -\sqrt2  & 0 \\    1       & \beta &\delta  \\    1       & \gamma & 1/2*\sqrt2 \end{bmatrix},$$

Also habe ich es berechnet und folgende Matrix erhalten:

$$E^T\eta E=\begin{bmatrix}    -\alpha+2      & \sqrt2+\alpha+\beta+\gamma  & \frac{2\delta+\sqrt2}{2} \\    \sqrt2+\alpha+\beta+\gamma       & \beta^2+\gamma^2-2 & \frac{\sqrt2\gamma+2\beta \delta}{2}  \\    \frac{2\delta+\sqrt2}{2}       & \frac{\sqrt2\gamma+2\beta \delta}{2} & \frac{2\delta^2+ 1}{2} \end{bmatrix},$$

Mit der Voraussetzung habe ich dann folgende Lösungen erhalten:

$$\alpha = +-\sqrt3 $$$$\delta = +-\frac{\sqrt2}{2} $$$$\gamma = +-\frac{\sqrt2 +2}{2} $$$$\beta = -\sqrt6-\gamma $$

Und jetzt hänge ich bei den inversen Matrizen fest. Wie kann ich da weiter vorgehen?

Ich wäre dankbar, wenn mir da jemand helfen kann! :)

Comments

Also habe ich es berechnet und folgende Matrix erhalten: ...

ich glaube, Du hast da ein paar mal Mal mit Plus verwechselt. Ich erhalte: $$E^T \eta E = \eta \\ = \begin{bmatrix}    \alpha& 1  & 1 \\    -\sqrt2& \beta &\gamma  \\    0& \delta& \frac 12 \sqrt2 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}    -1& 0 & 0 \\    0& 1 & 0 \\    0& 0 & 1 \end{bmatrix}    \cdot    \begin{bmatrix}    \alpha& -\sqrt2  & 0 \\    1& \beta &\delta \\    1& \gamma& \frac 12 \sqrt2 \end{bmatrix} \\ \space  \\ = \begin{array}{c} &  \begin{bmatrix}    \alpha& -\sqrt2  & 0 \\    1& \beta &\delta \\    1& \gamma& \frac 12 \sqrt2 \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix}  -\alpha& 1  & 1 \\    \sqrt2& \beta &\gamma \\    0& \delta& \frac 12 \sqrt2 \end{bmatrix} &      \begin{bmatrix} -\alpha^2 + 2 & \alpha \sqrt 2 + \beta + \gamma& \delta + \frac 12 \sqrt 2 \\ \alpha \sqrt 2 + \beta + \gamma &  -2 + \beta^2 + \gamma^2 & \beta\delta + \frac 12 \gamma \sqrt 2 \\ \delta + \frac 12 \sqrt 2 & \beta \delta+ \frac 12 \gamma \sqrt 2& \delta^2 + \frac 12\end{bmatrix}\\  \end{array} \\ \space \\ =  \begin{bmatrix}    -1& 0 & 0 \\    0& 1 & 0 \\    0& 0 & 1 \end{bmatrix}$$

überprüfe das bitte noch mal.

---

Vielen Dank Werner, da hast du tatsächlich recht. In meiner Matrix habe ich mit dem Wert  $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$ gerechnet und bin da wohl etwas durcheinandergekommen.

Und klar, dass bspw. in der ersten Zeile das Additionszeichen durch ein Multiplikationszeichen ersetzen werden muss, wie für Alpha und Wurzel 2. Da hat sich anscheinend etwas in der digitalen Übertragung eingeschlichen.

Die Lösungen für die Tupel $$ \alpha, \gamma $$ müssten nach meinen wiederholten Berechnungen stimmen. Für β habe ich folgendes raus:$$ β = -\sqrt{-\sqrt{6} - γ^{2}} $$ und für γ habe ich jede beliebige reelle Zahl. Kann das sein? 

Answer 1

Hallo Joanna,

Als Lösung für die Variablen \(\alpha\) bis \(\delta\) erhalte ich$$m_{13}=0 \implies \delta = -\frac 12 \sqrt 2\\ m_{11}=1 \implies \alpha = \pm \sqrt 3 \\ m_{23}=0 \implies \beta = \gamma \\ m_{12}=0 \implies \beta = \gamma = -\frac 12 \alpha \sqrt 2 = \mp \frac 12 \sqrt 6$$D.h. die Matrix \(E\) lautet$$E = \begin{bmatrix} k \sqrt 3 & -\sqrt 2 & 0 \\ 1& -\frac k2 \sqrt 6 & - \frac 12 \sqrt 2 \\ 1& -\frac k2 \sqrt 6& \frac 12 \sqrt 2 \end{bmatrix}\quad k \in \{1,\,-1\}$$und die Inverse sähe so aus$$E^{-1} = \begin{bmatrix} k\sqrt 3& -1& -1 \\\sqrt 2 & - \frac k2  \sqrt 6& - \frac k2 \sqrt 6\\ 0& -\frac 12 \sqrt 2& \frac 12 \sqrt 2 \end{bmatrix} \quad k \in \{1, \, -1\} $$ Gruß Werner

Comments

Vielen lieben Dank Werner!

Ich kann leider nicht nachvollziehen, wie du auf die Inverse Matrix gekommen bist. Du hast die Matrix E transponiert. Aber wie kommst du auf die negativen Werte für m₁₂ und m₁₃ ? Kannst du mir das bitte noch einmal zeigen? 

---

Ich kann leider nicht nachvollziehen, wie du auf die Inverse Matrix gekommen bist. Du hast die Matrix E transponiert ... Kannst du mir das bitte noch einmal zeigen?

Nein, die Matrix wurde nicht transponiert. Wenn \(E\) eine Rotationsmatrix wäre, dann  wären Transponierte und Inverse identisch. Dazu müssten aber u.a. alle Spaltenvektoren orthogonal zueinander stehen. Hier steht zwar Spalte 3 senkrecht auf 1 und 2 aber Spalte 1 und 2 stehen nicht orthogonal zueinander. Deshalb sieht es nur ungefähr so aus wie die Transponierte.

Wenn Du kein CAS zur Verfügung hast, dann hilft der Gauß-Jordan. Dazu schreibt man die Einheitsmatrix rechts neben die Matrix und verändert durch Addition von Vielfachen anderer Zeilen das Systen so, dass links die Einheitsmatrix stehen bleibt. Hier für \(k=1\): $$\begin{array}{ccc|ccc}  \sqrt 3 & -\sqrt 2 & 0 & 1&0&0 \\ 1& -\frac 12 \sqrt 6 & - \frac 12 \sqrt 2 &0&1&0 \\ 1& -\frac 12 \sqrt 6& \frac 12 \sqrt 2 &0&0&1\end{array}$$Dividiere die erste Zeile durch \(\sqrt 3\) und ziehe das Ergebnis von der zweiten und dritten Zeile ab$$\begin{array}{ccc|ccc}  1 & -\frac 13 \sqrt 6 & 0 & \frac 13\sqrt 3&0&0 \\ 0& -\frac 16 \sqrt 6 & - \frac 12 \sqrt 2 & -\frac 13 \sqrt 3 & 1& 0 \\ 0& -\frac 16 \sqrt 6& \frac 12 \sqrt 2 & -\frac 13 \sqrt 3& 0& 1\end{array} $$ziehe die zweite Zeile von der dritten ab und teile anschließend die zweite Zeile durch \(-\frac 16 \sqrt 6\)$$\begin{array}{ccc|ccc}  1 & -\frac 13 \sqrt 6 & 0 & \frac 13\sqrt 3&0&0 \\ 0& 1 & \sqrt 3 &  \sqrt 2 & - \sqrt 6& 0 \\ 0&  0 & \sqrt 2 & 0& -1& 1\end{array}$$Ziehe das \(-\frac 13 \sqrt 6\)-fache der zweiten Zeile von der ersten ab. Dividiere die dritte Zeile durch \(\sqrt 2\) und ziehe dann das \(\sqrt 3\)-fache der dritten von der zweiten Zeile ab.$$\begin{array}{ccc|ccc}  1 & 0 & \sqrt 2 & \sqrt 3& -2& 0 \\ 0& 1 & 0 &  \sqrt 2 & - \frac 12 \sqrt 6& - \frac 12 \sqrt 6 \\ 0&  0 & 1 & 0& -\frac 12 \sqrt 2& \frac 12 \sqrt 2\end{array} $$Jetzt noch das \(\sqrt 2\)-fache der dritten Zeile von der ersten abziehen und dann steht rechts die Inverse$$\begin{array}{ccc|ccc}  1 & 0 & 0 & \sqrt 3& -1& -1 \\ 0& 1 & 0 &  \sqrt 2 & - \frac 12 \sqrt 6& - \frac 12 \sqrt 6 \\ 0&  0 & 1 & 0& -\frac 12 \sqrt 2& \frac 12 \sqrt 2\end{array} $$Gruß Werner

---

Vielen herzlichen Dank für deine Geduld und  Mühe! :)