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Aufgabe:

Bestimmen Sie alle ganzrationalen Funktionen vom Grad drei, deren Graphen symmetrisch zum Ursprung sind und die x-Achse an der Stelle x=2 schneiden


Problem/Ansatz:

Funktion dritten Grades ist: ax^3+bx^2+cx+d

Dann habe ich die Bedingungen:

1. Punktsymmetrie f(-x)=-f(x)

2. f(2)=0

Wie gehe ich da vor?

von

4 Antworten

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Da wir ein Punktsymmetrisches Polynom haben muss eine Nullstelle bei 0 sein. Eine Nullstelle war noch bei x = 2 vorgegeben. Wegen der Punktsymmetrie muss man dann aber auch eine Nullstelle bei x = -2 haben.

Da man jetzt alle 3 Nullstellen kennt, kann man sofort die faktorisierte Form aufschreiben.

f(x) = a·x·(x + 2)·(x - 2)

Hier braucht man nichts rechnen sondern einfach nur seinen Verstand mitlaufen lassen.

von 293 k

Wie kommt man dann auf die Lösung f(x)=ax^3-4x ? Denn so steht es in den Lösungen, aber ohne Rechenweg.

Wie kommt man dann auf die Lösung f(x)=ax^3-4ax ? Denn so steht es in den Lösungen, aber ohne Rechenweg.

(Korrigiert)

Man könnte ausmultiplizieren. Muss man aber nicht. Es ist auch so richtig. Es ist nur eine andere darstellungsform. Aber solange die nicht vorgeschrieben ist, darf man irgendeine Form verwenden.

f(x) = a·x·(x + 2)·(x - 2)

f(x) = a·x·(x^2 - 4)

f(x) = a·(x^3 - 4·x)

f(x) = a·x^3 - 4·a·x

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Für ein punktsymmetrische Funktion 3. Grades würde ich den Ansatz f(x)=ax3+bx wählen.  a und b wird man bei einem einzigen gegebenen Punkt nur in Abhängigkeit voneinander angeben können. Es ist also nur eine Parameterdarstellung möglich.

von 59 k

Es muss doch auch gelten: f(-2) = 0.

Die Punktsymmetrie ist in  f(x)=ax^3+bx schon enthalten. Wenn man diesen Ansatz wählt brauchst mal also nur f(2) = 0 als Bedingung weil die andere dann eh erfüllt ist.

Man kann f(-2) = 0 aber auch für die faktorisierte Form verwenden was einfacher geht weil die Funktion damit gleich zu notieren ist.

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Beachte Rolands Hinweise.

Am Ende solltest du erhalten y=ax^3-4a*x.

von 21 k
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Die ganzrationalen Funktionen vom Grad drei, deren Graphen symmetrisch zum Ursprung sind und die x-Achse an der Stelle x=2 schneiden, sind genau die durch $$ y = a \cdot (x+2) \cdot x \cdot (x-2) \quad\land\quad a \ne 0$$ darstellbaren Funktionen.

von 16 k

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