Isometrie einer Abbildung f bedeutet unter anderem, dass gelten muss⟨f(u),f(v)⟩=⟨u,v⟩Weiter ist ff : f(u)=A⋅ujetzt nur noch konsequent einsetzen. Bem.: lt. Voraussetzung ist ⟨x,x⟩=1f(u)=(E−2xxT)u=u−2x⋅⟨x,u⟩f(v)=(E−2xxT)v=v−2x⋅⟨x,v⟩⟨f(u),f(v)⟩=⟨u−2x⋅⟨x,u⟩, v−2x⋅⟨x,v⟩⟩=⟨u,v⟩−2⟨x,u⟩⟨x,v⟩−2⟨x,v⟩⟨x,u⟩+4⟨x,x⟩⟨x,u⟩⟨x,v⟩=⟨u,v⟩q.e.d.
Zudem ist gefragt wie die Einträge von A aussehen.
Im Prinzip soA=⎝⎜⎜⎜⎜⎛1−2x12−2x1x2⋮−2x1xn−2x1x21−2x22−2x2xn………−2x1xn−2x2xn⋮1−2xn2⎠⎟⎟⎟⎟⎞
... ach und: es handelt sich um eine Spiegelung an der Ursprungs-(Hyper-)Ebene, die senkrecht auf x steht.