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Aufgabe:

Alle 10 Sekunden wird die Leistung(Watt) - die eine Photovoltaikanlage zu diesem Zeitpunkt produziert - in eine Datenbank geschrieben. Über den Tag fallen so 8.640 Messpunkte an. Nun soll über die Messpunkte ermittelt werden wie viele Kwh Strom die Anlage pro Tag produziert hat.

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Aloha :)

Du hast 8640 Messpunkte \(x_1,x_2,\ldots,x_{8640}\) in der Einheit \(\mbox{Watt}\), die im Abstand von \(\Delta t=10\,\mbox{s}\) aufgezeichnet werden. Die Gesamtenergie \(E\) kannst durch folgende Summe sehr gut annähern:

$$E=\left(\sum\limits_1^{8640}x_i-\frac{x_1+x_{8640}}{2}\right)\cdot\Delta t=\left(\sum\limits_1^{8640}x_i-\frac{x_1+x_{8640}}{2}\right)\cdot10\quad;\quad\mbox{[Joule]}$$

Also, alle Messwerte \(x_i\) addieren, die Hälfte des ersten \(x_1\) und die Hälfte des letzten Wertes \(x_{8640}\) wieder subtrahieren. Das Gesamtergebnis mal 10 nehmen, ergibt die Energiemenge in der Einheit "Joule".

Eine kWh entspricht einer Einergiemenge von: \(1\,\mbox{kWh}=1000\,\mbox{W}\cdot3600\,\mbox{s}=3.600.000\,\mbox{J}\). Um die berechnete Energiemenge in der Einheit "kWh" zu erhalten, musst du das Ergebnis also noch durch 3,6 Millionen dividieren.

von 3,7 k

Super, danke dir, passt genau.

Warum genau zählst du x1 und x8640 nur halb?

Die 10 Sekunden um Mitternacht (5sec vorher und nachher) produzieren vielleicht keinen Strom. Daher passt das Resultat vermutlich trotzdem genau.

Hallo Lu :)
Die Anzahl der Punkte passt schon. Dass Messgerät kann ja erst die Leistung anzeigen, nachdem die Messung vollständig erfolgt ist. Das heißt, der 1-te Wert kommt nach 10s. Der 8640-ste Wert kommt nach 86400s, also exakt um Mitternacht.

Das Problem ist rein mathematisch oder besser numerisch. Wenn man alle Messwerte \(f(t_i)\) addiert, nähert man die Fläche durch kleine Rechtecke \(f(t_i)\cdot\Delta t\) an.$$F\approx\sum\limits_{i=1}^nf(t_i)\Delta t_i$$Bei jedem Rechteck bleibt jedoch eine "Lücke" zwischen dem realen Funktionsverlauf und einer Kante (obere oder untere) des Rechtecks. Daher ist das Verfahren numerisch nicht zu empfehlen.
Viel genauer ist es, nicht die linke \(f(t_i)\) oder rechte \(f(t_{i+1})\) Höhe der Rechtecke zu nehmen, sondern ihre mittlere Höhe \(\frac{f(t_i)+f(t_{i+1})}{2}\). Die Rechtecke "springen" dann in der Höhe nicht mehr von \(f(t_i)\) nach \(f(t_{i+1})\), sondern diese "Sprünge" werden durch Geraden angeglichen. Die Gesamtfläche wird also nicht durch Rechtecke, sondern durch Trapeze approximiert.$$F\approx\sum\limits_{i=1}^{n-1}\frac{f(t_i)+f(t_{i+1})}{2}\cdot\Delta t$$$$\phantom{F}=\left(\frac{f(t_1)}{2}+\sum\limits_{i=2}^{n-1}f(t_i)+\frac{f(t_n)}{2}\right)\cdot\Delta t$$Diese Regel heißt auch "Trapez-Regel für die numerische Integration". Da die Korrektur so simpel ist, verwende ich sie eigentlich immer bei der numerischen Integration.
Warum genau zählst du x1 und x8640 nur halb?

Das Beispiel ist ± zyklisch und du ignoriest während 24 h ja regelmässig 10 Sekunden.  Die Trapezregel würdest du auch benutzen, wenn du den Wert 10 Sekunden nach Mitternacht des folgenden Tages noch erheben und einbeziehen würdest. So wäre ich einverstanden mit der Verwendung der Trapezregel.

Bei deinem Vorschlag hat man einfach das Problem, dass man den "Messunterbruch" besser nicht auf 13:30 Uhr legen sollte.

Ansonsten mal Pluspunkt von mir für deine schöne Erklärung oben. Danke!

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Jeden Messwert mal 10 und diese Produkte alle aufaddiert

gibt die Strommenge in Wattsekunden.

von 171 k



Jeden Messwert mal 0,024 und diese Produkte alle aufaddiert
gibt die Strommenge in kWh.

Strommenge in Wattsekunden
Strommenge in kWh. 

Ws und kWh sind Einheiten der physikalischen Größe "Energie", aber nicht von so etwas wie "Strommenge". Immerhin gibt es die "Stromstärke", die wird in A gemessen.

Darüberhinaus fragte f nach "kWh pro Tag", was eine Leistungseinheit ist. Um diese zu ermitteln, ist der Mittelwert aller Messergebnisse zu bestimmen und mit 0,024 zu multiplizieren.

Heisst das die Fragestellung

wie viele Kwh Strom die Anlage pro Tag produziert hat.

war physikalisch nicht korrekt?

Die Einheit "kWh" ist eine Energieeinheit. Die Stromstärke wird in "Ampere" gemessen. Eigentlich müsste die Fragestellung daher lauten: "Wie viele kWh an Energie die Anlage pro Tag produziert hat".

"Wie viele kWh an Energie die Anlage pro Tag produziert hat".

In der Alltagssprache wird durchaus auch verwendet
"Wie viele kWh Strom die Anlage pro Tag produziert hat".

Noch einfacher ( komplett fehlerfrei )
"Wie viele kWh die Anlage pro Tag produziert hat".

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