Zeigen Sie, dass (S, o) die kleinste Untergruppe ist, die s enthält

Question

Aufgabe:

Es sei \( (G, \circ) \) eine endliche Gruppe und \( s \in G \). Wir definieren

$$ s^{k} :=\underbrace{ s \circ s \circ \ldots \circ \mathrm{s}}_{\text{k mal}} $$

Sei \( S=\left\{s^{k} | k \in \mathbb{N}, k \geq 1\right\} \). Zeigen Sie, dass \( (S, \circ) \) die kleinste Untergruppe von \( (G, \circ) \) ist, die \( s \) enthält.

Answer 1

Zunächst musst du mal zeigen, dass, wenn s in einer Untergruppe U von G ist,

# auch alle "Potenzen" von s in U sind.

Das ist so wegen der Abgeschlossenheit von U.

Also ist jedenfalls S in jeder Untergruppe von G enthalten.

Dann brauchst du nur noch, dass die Menge S mit der Verknüpfung o auch

wirklich eine Untergruppe von G ist.

Abgeschlossenheit ist klar: Wenn man zwei solche Potenzen verknüpft,

gibt es wieder eine.

Assoziativ ist auch klar, da alles in G stattfindet.

Neutrales Element gibt es auch, weil G endlich ist.

Wenn du also der Reihe nach s , s^2 , s^3, …. betrachtest,

müssen wegen der Endlichkeit irgendwann zwei gleiche vorkommen,

wähle dazu die kleinsten Werte der Exponenten, bei denen das so ist, etwa

s^k = s^n mit   k<n

==>   s^k = s^k * s^(n-k)

Und dieses s^(n-k) ist das neutrale Element von (S,o) , da auch für jedes andere

m gilt   s^m = s^m * s^(n-k) und auch   s^m = s^(n-k) *s^m.

Mit n-k = x sind also alle Elemente von (S,o) durch Exponenten k im Bereich

von 1 bis x beschrieben und s^x ist das neutrale El.

Dann ist das Inverse von s^k eben genau s^(x-k).

Also alle Gruppeneigenschaften für (S,o) erfüllt.

(S,o) ist also eine Untergruppe von (G,o) und weil anfangs schon gezeigt

wurde, dass S jedenfalls in jeder Untergruppe enthalten ist, ist (S,o) die kleinste.