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Aufgabe:

Sie möchten zu Ihrem Pensionsantritt in t=35 eine Ferienwohnung erwerben. Sie prognostizieren, dass Sie diese
Ferienwohnung dann 350.000 Euro kosten wird. Zudem möchten Sie ab t=36 eine ewige jährliche Rente in Höhe von
3.000 Euro beziehen (erste Zahlung in t=36). Um beide Wünsche zu realisieren, möchten Sie den notwendigen
Betrag durch jährliche Zahlungen ansparen. Sie gehen davon aus, jedes Jahr um 3% mehr ansparen zu können als
im Vorjahr. Wie hoch muss Ihre erste Ansparzahlung sein, damit Sie Ihr Ziel erreichen (erste Zahlung in t=1 und letzte
Zahlung in t=35)? Gehen Sie von einem diskreten Zinssatz in Höhe von 4% p.a. für alle Laufzeiten aus und runden
Sie nur das Endergebnis auf zwei Kommastellen.


Problem/Ansatz:

Bitte um Rechenweg. Danke im Voraus!

von

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Aloha :)

Die erste Betrag \(B_1\) wird bei \(t=1\) gezahlt und der letzte Betrag \(B_{35}\) bei \(t=35\). Jedes Jahr wächst der Betrag um \(3\%\), also ist:$$B_t=B_1\cdot1,03^{t-1}\quad;\quad 1\le t\le35$$Im Jahr \(t=35\) wurde \(B_1\) bereits 34-mal verzinst, \(B_2\) bereits 33-mal verzinst,..., \(B_{34}\) bereits 1-mal verzinst und \(B_{35}\) nocht gar nicht verzinst. Das Kapital \(K_{35}\) nach der \(B_{35}\)-Rate ist daher:$$K_{35}=B_1\cdot1,04^{34}+B_2\cdot1,04^{33}+\cdots+B_{34}\cdot1,04^1+B_{35}$$$$=B_1\cdot1,04^{34}+B_1\cdot1,03^1\cdot1,04^{33}+\cdots+B_1\cdot1,03^{33}\cdot1,04+B_{1}\cdot1,03^{34}$$$$=\sum\limits_{k=0}^{34}B_1\cdot1,03^k\cdot1,04^{34-k}=B_1\sum\limits_{k=0}^{34}1,03^k\cdot\frac{1,04^{34}}{1,04^k}=B_1\cdot1,04^{34}\sum\limits_{k=0}^{34}\left(\frac{1,03}{1,04}\right)^k$$$$=B_1\cdot1,04^{34}\cdot\frac{\left(\frac{1,03}{1,04}\right)^{35}-1}{\left(\frac{1,03}{1,04}\right)-1}\approx113,222654\cdot B_1$$Bei \(t=35\) werden aus dem angesparten Kapital \(350\,000€\) für die Wohnung entnommen. Das verbliebene Kapital wird dann noch 1-mal verzinst, bevor ab \(t=36\) keine neuen Beiträge mehr geleistet werden und die 4% Zinsen auf das Gesamtkapital die jährlich gewünschte Zusatzrente von \(3\,000€\) abwerfen müssen.

$$\left(K_{35}-350\,000\right)\cdot0,04=3\,000$$$$K_{35}-350\,000=\frac{3\,000}{0,04}=75000$$$$K_{35}=425000$$$$113,222654\cdot B_1=425000$$$$B_1=3\,753,67$$

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Kapitalbedarf in t36:

350000 +3000/0,04+3000 = 428000

428000 = r*(1,04^35-1,03^35)/(1,04-1,035)

r = 3780,16

von 30 k

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