Aufgabe:
$$ \lim _{x \rightarrow \infty} \log \left(\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}\right)=0 $$
Problem/Ansatz:
Wieso geht das ganze gegen null? Ich weiß auch, dass dieser Limes gegen ln(1) = 0 geht.
Aber wieso?
Aloha :)$$\lim\limits_{x\to\infty}\log\left(\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}\right)=\lim\limits_{x\to\infty}\log\left(\frac{x\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}{x}\right)=\lim\limits_{x\to\infty}\log\left(\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}\right)$$$$=\lim\limits_{x\to\infty}\left[\frac{1}{2}\log\left(1+\frac{1}{x^2}\right)\right]=\frac{1}{2}\log(1)=0$$
du kannst die Regel von L'Hospital anwenden, also Zähler und Nenner ableiten.
Dann sieht man, warum der Grenzwert 0 ist.
Gruß
Der Summand 1 unter der Wurzel kann für x→∞ vernachlässigt werden und \( \frac{\sqrt{x^2}}{x} \) =1. log 1 =0.
Das Weglassen von +1 im Zähler macht diesen kleiner und wir bekommen eine Abschätzung nach unten. Wir brauchen aber eine Abschätzung nach oben. Anderenfalls würde noch ein Argument fehlen.
